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首页高考知识点数学知识点15.圆锥曲线的综合问题

高考数学知识点

15.圆锥曲线的综合问题

绩优堂高考知识点15.圆锥曲线的综合问题包括直线与圆锥曲线的位置关系,曲线与方程,圆锥曲线的综合应用等

考点

直线与圆锥曲线的位置关系曲线与方程圆锥曲线的综合应用

共计192道相关试题精选知识点题

【正确答案】
解:(1)设椭圆  的方程为  .

根据题意知  , 解得  ,    

故椭圆  的方程为  . (4分)

(2)容易求得椭圆  的方程为  .

当直线  的斜率不存在时,其方程为  ,不符合题意;

当直线的斜率存在时,设直线  的方程为  .

  得  .

 ,则

  

因为  ,所以  ,即

  

  

 ,

解得  ,即  .

故直线  的方程为  或  .(12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
(1)解:设  ,又知  ,则

直线  的方程为  ,(1)

直线  的方程为  ,(2)

由(1),(2)得  ,(3)

由点  在椭圆  上,故  。从而

 代入(3)得

 (6分)

(2)证明:设  由矩形  与矩形  的面积相等,得

 ,故

因为点  均在椭圆上,所以

 ,知  ,所以  .从而  ,因此

 为定值.(12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(1)由题意得

所以椭圆C的方程为  .(4分)

(2)设  ,  ,  .

由题意知直线  的斜率存在,不妨设其为  ,

则直线  的方程为  .

又圆  :  ,故点  到直线  的距离  ,

所以  .

 ,故直线  的方程为  .

消去  ,整理得

 .

所以  .

 的面积为  ,

 ,

所以

 ,

当且仅当  时取等号.所以所求直线  的方程为  .(12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(I)由已知可得 为等腰直角三角形, ,圆 的半径 ,由抛物线定义可知 的距离

因为 的面积为 所以 ,即 ,解得

 (舍去)或 .                                  (3分)

所以, 的方程为 .                                  (5分)

(II)因为 三点在同一直线 上,所以 为圆 的直径, .由抛物线定义知 ,所以 的斜率为 .   (7分)

的斜率为 时,由已知可设 ,代入 .由于 只有一个公共点,故 ,解得 .因为 轴上的截距 ,所以坐标原点到 距离的比值为 .

的斜率为 时,由图形对称性可知,坐标原点到 距离的比值为 .      (12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
答案详见解析。
【命题立意】

本题主要考查直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考查思维能力、运算能力、考查函数、分类与整合等数学思想,并考查思维的严谨性.

【解题思路】

解:(I)设 的坐标为 时,直线 的斜率不存在;当 时,直线 的斜率不存在.

于是

此时, 的斜率为 的斜率为 .

由题意,有 ,化简可得 .

故动点 的轨迹 的方程为 .        (4分)

(II)由 消去 ,可得 (*)

对于方程(*),其判别式

而当 为方程(*)的根时, 的值为 .

结合题设 可知, ,且 .

的坐标分别为

为方程(*)的两根.

因为 ,所以

.

所以 .

此时  ,且

所以 ,且

所以 ,且 .综上所述, 的取值范围是 .                             (12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
答案详见解析。
【命题立意】

本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的距离公式等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质以及数形结合的数学思想方法,考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.满分14分.

【解题思路】

解:(Ⅰ)因为点 在椭圆上,

可得

于是 所以椭圆的离心率

(Ⅱ)设直线 的斜率为 ,则其方程为 .

设点 的坐标为 .

由条件得 消去 并整理得

,得

整理得

代入①,整理得

由(Ⅰ)知

可得

所以直线 的斜率

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(Ⅰ)由题设知 .

   

由点 在椭圆上,得 ,解得

于是 ,又点 在椭圆上,

所以 ,即 ,解得 .

因此,所求椭圆的方程是 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,又直线 平行,

所以可设直线 的方程为

直线 的方程为 .

.

解得

 ①

同理,

(i)由①②得

,注意到 ,故 .

所以直线 的斜率为 .

(ii)因为直线 平行,所以

于是 ,故 .

点在椭圆上知

从而 .

同理 .

因此,

.

又由①②知. 

所以 .因此, 是定值.

【命题立意】

本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质、直线方程、两点间的距离公式等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.满分16分.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
本题主要考查直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考查思维能力、运算能力,

考查函数、分类与整合等数学思想,并考查思维的严谨性.

解:(Ⅰ)设  的坐标为  ,显然有  ,  .

 时,点  的坐标为  .

 时;  .由  ,

 ,即  .

化简可得  .

而点  在曲线  上,

综上可知,轨迹  的方程为  .                 (5分)

(Ⅱ)由  消去  ,可得  .(*)

由题意,方程(*)有两根且均在  内.

 ,

所以    解得,  ,且  .

 、  的坐标分别为  ,由  有

 .

所以

 ,且  ,有  ,

所以  的取值范围是  .                       ( 12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
  本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的距离公式等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质以及数形结合的数学思想方法,考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.满分14分.

解:(Ⅰ)设点 的坐标为 .

由题意,有 .①

得. 

,可得

代入①并整理得 .

由于 ,故 .

于是 ,所以椭圆的离心率 .

(Ⅱ)证法一:依题意,直线 的方程为

设点 的坐标为( ).

由条件得 消去 并整理得 .②

,得,

整理得 .

,于是 ,代入②,整理得

.

,故 ,即

因此 ,所以 .

证法二:依题意,直线 的方程为

可设点 的坐标为 .

由点 在椭圆上,有 .

因为 ,所以

.③

,得

整理得 ,于是 ,代入③,得 ,解得 所以 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
(本小题满分13分)

解:(Ⅰ)依题意知 ,圆心 在线段 的垂直平分线 上,因为抛物线 的准线方程为 ,所以 ,即 ,因此抛物线 的方程为 .

(Ⅱ)假设存在点 满足条件,抛物线 在点 处的切线斜率为

所以直线 的方程为

,所以 .

因此 ,又

所以 ,此时 .

故存在点 ,使得直线 与抛物线 相切于点 .

(Ⅲ)当 时,由(Ⅱ)得

半径为

所以 的方程为 .

整理得 .

两点的坐标分别为

由于

所以 .

整理得 .

亮点的坐标分别为

由于

所以 .

因此 .

,由于 ,则

所以 ,

,

因为

所以当

即函数 上是增函数,

所以当 时, 取到最小值

因此当 时, 取到最小值 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
【命题立意】

本题考查了函数的对称性及曲线弦长的最值问题,体现了平面几何特征在解决几何图形最值问题中的巧妙应用。

【解题思路】

函数 的图象关于原点对称, 坐标关于原点对称,即可得 ,设点 的坐标为( ),则

,当且仅当 时,线段 长取得最小值

【题眼】

解决此类弦长最值的关键在于将弦长公式用曲线上点的坐标表示,最终将其表示为一个函数的形式,通过函数求最值或用基本不等式来求最值。

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(Ⅰ)设 ,则 ,由此可得 .

因为 所以 .

又由题意知, 的右焦点为 因此 .

所以 的方程为 .

(Ⅱ)由 解得 因此 .

由题意可设直线 的方程为

.由 .

于是 .

因为直线 的斜率为 ,所以 .

由已知,四边形 的面积 .

时, 取得最大值,最大值为 .所以四边形 面积的最大值为 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解析 (1)证明:设点 的坐标为 ,令

因为点 在椭圆 上,所以 ,则

代入

其对称轴方程为

由题意知 恒成立,

在区间 上单调递增.

当且仅当椭圆 上的点 在椭圆的左、右顶点时, 取得最小值与最大值.

(2)由已知与(1)得

椭圆 的标准方程为

(3)如图所示,设 ,联立

,则

椭圆的右顶点为

解得 ,且均满足

时, 的方程为 ,直线过定点 ,与已知矛盾.

时, 的方程为 ,直线过定点 直线 过定点,定点坐标为

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解析 (1)由 上,得 .                          (1分)

直线 的斜率 ,而直线 的斜率 ,所以 ,解得 ,则

所以椭圆 的方程为 .                                      (4分)

(2)存在.假设存在椭圆 ,使得 恒为常数,椭圆 的半焦距为

时,有

时,有

.                                                (6分)

①当 时,

所以 ,化简整理得 .这是不可能的. (7分)

②当 时,

所以 ,化简整理得

所以

两边同除以 ,得

解得 (舍去).                      (9分)

可见,若存在椭圆 满足题意,只可能离心率

上任意一点,则

.             (10分)

,得

所以

从而 .                                                  (12分)

因此,

所以 为常数.

所以存在这样的椭圆 ,使得 恒为常数 ,且离心率 .         (15分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂

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