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首页高考知识点数学知识点11.空间向量与立体几何

高考数学知识点

11.空间向量与立体几何

绩优堂高考知识点11.空间向量与立体几何包括空间直角坐标系、空间向量及其运算,与空间角和距离有关的计算等

考点

空间直角坐标系、空间向量及其运算与空间角和距离有关的计算

共计106道相关试题精选知识点题

【正确答案】
(1)设   ,连接   .

由三角形的中位线定理可得   .

  平面   ,   平面   ,   平面   .

(2)建立如图所示的空间直角坐标系.

  中,斜边   ,   ,得   ,

所以   ,   ,   ,   .

  ,其中   ,得   .

设平面   的一个法向量   ,

  得   ,

  ,得   .

而平面   的法向量   ,所以由题意   ,

  ,解得   ,

所以,当点   在线段   的中点时,二面角   的余弦值为   .

  

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
在图1中,易得

连结  ,在  中,由余弦定理可得

由翻折不变性可知  ,

所以  ,所以  ,

同理可证  , 又  ,所以  平面  . (6分)

(Ⅱ)传统法:过  作  交  的延长线于  ,连结  ,

因为  平面  ,所以  ,

所以  为二面角  的平面角.

结合图1可知,   为  中点,故  ,从而   

所以  ,所以二面角  的平面角的余弦值为  .

向量法:以  点为原点,建立空间直角坐标系  如图所示,

 ,   ,   

所以  ,    

 为平面  的法向量,则

 ,即  ,解得  ,令  ,得   

由(Ⅰ) 知,   为平面  的一个法向量,

所以  ,即二面角  的平面角的余弦值为  . (12分)

 

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(I)证明:由题设知,三棱柱的侧面为矩形.

 由于 的中点,故 ,

 又 ,可得 ,所以 .

 而 , ,所以 平面 .

  平面 ,故 (5 分)

(II)由(I)知 ,且 ,则 平面

 所以 两两相互垂直.

 以 为坐标原点, 的方向为 轴的正方向, 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz

由题意知 .则

.

是平面 的法向量,则

,即 ,可取 .

同理,设 是平面 的法向量,则 可取 .

从而 .故二面角 的大小为 .(12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
答案详见解析。
【解题思路】

解法一:(I)连接 .由已知, 为直线 与平面 所成的角.

的中点为 ,连接 .

因为 ,所以 .

因为 ,所以 为等边三角形.

不妨设 ,则 .

所以 .

中, .

故直线 与平面 所成的角的大小为 .                        (6分)

(II)过 ,连接 .

由已知可得 平面 .

根据三垂线定理知, .

所以 为二面角 的平面角

由(I)知, .

中, .

故二面角 的大小为 .                                  (12分)

解法二:(Ⅰ)设 的中点为 ,连接 .

因为 上,且 在平面 上的射影,

所以 平面 .

所以 ,且 .

,知 .

中点,则 ,从而 .

如图,以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系 .

不妨设 ,由已知可得

.

所以 .

所以

为平面 的一个法向量.

为直线 与平面 所成的角,

.

故直线 与平面 所成的角的大小为 .                         (6分)

(II)由(I)有 .

设平面 的一个法向量为  ,则

 

从而

,则 ,所以 .

设二面角 的平面角为 ,易知 为锐角.而平面 的一个法向量为  ,则  .故二面角 的大小为 .     (12分)

【解题技巧】
【命题立意】

本题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查思维能力、空间想象能力,并考查应用向量知识解决数学问题的能力.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
A
【命题立意】

本题考查球的相关知识与二面角等,难度较大.

【解题思路】

如图,连接 ,因为 ,根据平面 角,根据题意有平面 与平面 垂直,根据三余弦定理有 ,所以 ,所以 两点间的球面距离为 ,选A.

【知识拓展】

涉及有关的空间角问题时,必要时可考虑利用 ,同时应当注意结合具体问题准确区分相关角.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
【命题立意】

本题考查三垂线定理,难度中等.

【解题思路】

连接 ,依题意,注意到直线 在平面 内的射影是直线 ,且 ,因此由三垂线定理得 ,即直线 所成的角是 .

【一题多解】

此题也可考虑通过建立空间直角坐标系,再借助于向量的数量积知识得出结论.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
A
【命题立意】

本题考查球的相关知识与二面角等,难度较大.

【解题思路】

如图,连接  ,  ,  ,因为  ,且平面  与平面  成  角,根据题意有平面  与平面  垂直,根据三余弦定理有

 ,所以  ,所以  ,  两点间的球面距离为  ,选A.

 

【知识拓展】

涉及有关的空间角问题时,必要时可考虑利用  ,同时应当注意结合具体问题准确区分相关角.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
 
【命题立意】

本题考查三垂线定理,难度中等.

【解题思路】

连接  ,依题意,注意到直线  在平面  内的射影是直线  ,且  ,因此由三垂线定理得  ,即直线  与  所成的角是  .

【一题多解】

此题也可考虑通过建立空间直角坐标系,再借助于向量的数量积知识得出结论.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
本题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查思维能力、空间想象能力,并考查应用向量知识解决数学问题的能力.

解法一:(Ⅰ)设  的中点为  ,  的中点为  ,连接  、  ,  .

由已知,  为等边三角形.所以  .

又平面  平面  ,平面  平面  ,所以  平面  .

所以  为直线  与平面  所成的角.

不妨设  ,则  ,  ,  ,  .

 中,  .

所以,在  中,  .

故直线  与平面  所成的角的大小为  .               (6分)

(Ⅱ)过  作  于  ,连接  .

由已知可得  平面  .

根据三垂线定理知,  ,

所以,  为二面角  的平面角.由(Ⅰ)知,  .

 中,  .

故二面角  的大小为  .                  (12分)

解法二:(Ⅰ)设  的中点为  ,作  于点  ,连接  .

因为平面  平面  ,平面  平面  ,所以  平面  .所以  .

 ,知  .设  为  中点,则  ,从而  ,  .

如图,以  为坐标原点,  ,  ,  所在直线分别为  轴建立空间直角坐标系  .

不妨设  ,由已知可得  ,  ,  ,  .

所以  ,  ,  ,  .

所以  .而  为平面  的一个法向量.

 为直线  与平面  所成的角,则  .

故直线  与平面  所成的角的大小为  .                (6分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)有  ,  .

设平面  的一个法向量为  ,

从而

 ,则  ,  所以

设二面角  的平面角为  ,易知  为锐角.

而平面  的一个法向量为  ,则

 .

故二面角  的大小为  .                           (12分) 

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
本题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角、异面直线所成的角,直线与平面垂直等基础知识,考查利用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分.

解法一:如图,以点 为原点建立空间直角坐标系,

依题意得

(Ⅰ)证明:易得

于是 ,所以 .

(Ⅱ)  .

设平面 的法向量

不妨令 ,可得 .

可取平面 的法向量

于是 ,从而 .

所以二面角 的正弦值为

(Ⅲ)设点 的坐标为 ,其中 .

由此得 .由 ,故

所以, ,解得 ,即 .

解法二:(Ⅰ)证明:由 平面 ,可得 ,

又由 ,故 平面 ,

平面 ,所以 .

(Ⅱ)如图,作 于点 ,连接 .

,可得 平面

因此 ,从而 为二面角 的平面角.

中, ,由此得 .

由(Ⅰ)知 .故在 中.

.因此 .

所以二面角 的正弦值为 .

(Ⅲ)如图,因为 ,故过点 的平行线必与线段 相交,设交点为 ,连接 .

或其补角为异面直线 所成的角.由于 ,故 .在 中, ,故 .

中,由 ,

,可得 .

由余弦定理, ,

可得 .设 .

中,

.

中,因为 ,从而 ,由余弦定理得

.可解得 ,所以 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
(本小题满分12分)

解:(Ⅰ)证明:因为四边形 是等腰梯形,

,所以 .

,所以

因此 ,又

平面 ,所以 平面 .

    (Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知 ,所以 .

平面 ,因此 两两垂直.

为坐标原点,分别以 所在的直线为 轴, 轴, 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设

                         

则,  .

因此 .

设平面 的一个法向量为

所以 ,取 ,则 .

由于 是平面 的一个法向量,

所以二面角 的余弦值为 .

解法二:取 的中点 ,连接

         

由于 ,因此 ,

平面 平面 ,所以 .

由于 平面 ,

所以 平面 ,故

所以 为二面角 的平面角.

在等腰三角形 中,由于

因此 ,又 ,所以 ,

,因此二面角 的余弦值为 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
详见解析
【命题立意】

本小题主要考查空间线线、线面、面面位置关系,二面角等基础知识,同时考查空间想

象力和推理论证能力。满分14分。

【解题思路】
解:(Ⅰ)证明:由 的中点,得

平面 ,得

因为 ,所以 平面 ,故

(Ⅱ)如图,在平面 内作 ,连接

                      

因为 ,得 平面 ,所以

为二面角 的平面角。

中, ,得

中,

中,

所以 ,得

中, ,得

,从而

同理

因为

所以

即二面角 的大小为

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
本题主要考查异面直线、二面角、空间向量等基础知识以及基本运算,考查运用空间向量解决问题的能力.满分10分.

解:(I)以 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系

所以 .

因为 .

所以异面直线 所成角的余弦值为 .

(II)设平面 的法向量为

因为

所以 ,即 所以 是平面 的一个法向量.

取平面 的一个法向量为

设平面 与平面 所成二面角的大小为 .

,得 .

因此,平面 与平面 所成二面角的正弦值为 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(I)证明:过B作CD的垂线交CD于F,则

.

中, .

中, .

中,因为 ,故 .

平面ABCD得

所以 平面 .

(II)三棱锥 的体积 .

中, .

同理,

.

.

设点 到平面 的距离为d,

则三棱锥 的体积

从而 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(Ⅰ)因为 ,D是BC的中点,所以 .①

又在直三棱柱 中, 平面ABC,

平面ABC,所以 .②

由①②得 平面 .

由点E在棱 上运动,得 平面 ,所以 .

(Ⅱ)因为 ,所以 是异面直线AC, 所成的角,由题设, .

因为 ,所以

,从而 平面 ,于是 .

,又

所以

从而

.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂

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