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首页高考知识点数学知识点24.推理与证明数学归纳法

高考数学知识点

数学归纳法

绩优堂高考知识点数学归纳法

考点

合情推理与演绎推理直接证明与间接证明数学归纳法

共计16道相关试题精选知识点题

【正确答案】
解析 (1)由题意得 ,                      (1分)

所以 .                                       (2分)

时, ;当 时,

所以, 上单调递增,在 上单调递减,

处取得极大值.                                     (3分)

因为函数 在区间 (其中 )上存在极值,

所以  解得 .

即实数 的取值范围是 .                                       (4分)

(2)由

.                                                 (6分)

,则 .

因为 ,所以 ,故 上单调递增.                (7分)

所以 ,从而 ,故 上单调递增,

所以实数 的取值范围是 .                                  (9分)

(3)证明:由(2)知 恒成立,

,所以 .               (10分)

,则

所以

……

.

所以   .                                                (12分)

所以

所以 .                                 (13分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解析 (1)由题意知: ,

类似地,

(2)2011年诺贝尔奖发奖后基金总额为 万美元,

 2012年度诺贝尔奖各项奖金额为 万美元,与 万美元相比少了约 万美元.

答:新闻“2012年度诺贝尔奖各项奖金高达 万美元”不真,是假新闻.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(Ⅰ)由已知,得 ,

于是 ,

所以

(Ⅱ)证明:由已知,得 ,等式两边分别对 求导,得 ,

,类似可得

,

,

下面用数学归纳法证明等式 对所有的 都成立.

(i)当 时,由上可知等式成立.

(ii)假设当 时等式成立,即

因为 ,

.

所以

因此当 时,等式也成立.

综合(i),(ii)可知等式 对所有的 都成立.

,可得

所以

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(Ⅰ)  的定义域为

(ⅰ)当 时,若 ,则 上是增函数;

,则 上是减函数;

,则 上是增函数.

(ⅱ)当 时,  成立当且仅当 上是增函数.

(ⅲ)当 时,若 ,则 上是增函数;

,则 上是减函数;

,则 上是增函数.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 时,  上是增函数.

时,  ,即

又由(Ⅰ)知,当 时,  上是减函数.

时,  ,即

下面用数学归纳法证明

(ⅰ)当 时,由已知 ,故结论成立;

(ⅱ)设当 时结论成立,即

时,

,

  ,

即当 时有 ,结论成立.

根据(ⅰ)、(ⅱ)知对任何 结论都成立.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(Ⅰ)用数学归纳法证明: .

(ⅰ)当 时, ,直线 的方程为

,解得 ,所以 .                       (2分)

(ⅱ)假设当 时,结论成立,即 .

直线 的方程为

,解得 .由归纳假设知

.所以 ,即当 时,结论成立.

由(ⅰ),(ⅱ)知对任意的的正整数             (6分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)及题意得 .设

数列 是首项为 ,公比为 的等比数列.                (10分)

因此 ,即

所以数列 的通项公式为 .                   (12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(Ⅰ)选取 中与 垂直的元素必有形式 .       (2分)

所以 ,从而 .                                             (4分)

(Ⅱ)证明:取 .设 满足 .由

,所以 异号.因为 中唯一的负数,所以 之中一为 ,另一为

.                                           (7分)

假设 ,其中 ,则 .

选取 ,并设 ,满足 ,即 ,则 异号,从而 之中恰有一个为 .若 ,则 ,矛盾;若 ,则 矛盾.所以 .                                   (10分)

(Ⅲ)解法一:猜测                         (12分)

.先证明:若 具有性质 ,则 也具有性质 .任取 .当 中出现 时,显然有 满足 ;当 时,则 .

因为 具有性质 ,所以有 ,使得 ,从而 中又一个是 ,不妨设 .假设 ,则 .

,得 ,与 矛盾.所以 ,从而 也具有性质 .  (15分)

现用数学归纳法证明: .当 时,结论显然成立;假设 时,

有性质 ,则 ;当 时,若

有性质 ,则 也有性质 ,所以

.取 ,并设 满足 .由此可得

.若 ,则 ,不可能;所以

,所以 .综上所述, .         (18分)

解法二:设 ,则 等价于 .

,则数集 具有性质 ,当且仅当数集 关于原点对称.(14分)

注意到 中的唯一负数, 共有 个数,

所以 也只有 个数.由于 ,已有 个数,对以下三角数阵

 

…………    

注意到 ,所以 ,从而数列的通项为

.          (18分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(Ⅰ) ,令 ,解得 .

时, ,所以 上是减函数;

时, ,所以 上是增函数.

故函数 处取得最小值 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 时,有

,  ①

中有一个为 ,则 成立;

均不为 ,又 ,可得 ,于是

在①中令 ,可得

,亦即 .

综上,对 为正有理数且

总有 .   ②

(Ⅲ)(Ⅱ)中命题的推广形式为:

为非负实数, 为正有理数.

.   ③

用数学归纳法证明如下:

(1)当 时, ,有 ,③成立.

(2)假设当 时,③成立,即若 为非负实数,

为正有理数,且

.

时,已知 为非负实数,

为正有理数,且

此时 ,即 ,于是

因为 ,由归纳假设可得

从而 .

又因 ,由②得 .

.

从而 .

故当 时,③成立.

由(1)(2)可知,对一切正整数 ,所推广的命题成立.

说明:(Ⅲ)中如果推广形式中指出③式对 成立,则后续证明中不需讨论 的情况.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】

证明:(Ⅰ)证法一:由 ,即

,

因为 ,故 ,得 ,又由题设条件知 ,

两式相减得 ,即 ,由 ,知 ,因此

 

综上, 对所有 成立.从而 是首项为 ,公比为 的等比数列.

证法二:用数学归纳法证明 , .

时,由 ,得 ,即 ,再由

所以结论成立.假设 时,结论成立,即 ,那么

这就是说,当 时,结论也成立.

综上可得,对任意 , .因此 是首项为 ,公比为 的等比数列.

(Ⅱ)证法一:当 时,显然 ,等号成立.

.由(Ⅰ)知 ,所以要证的不等式化为

即证:

时,上面不等式的等号成立.

时, 同为负; 当 时,

同为正.

因此当 时,总有(  )(  ) ,即

.

上面不等式对 求和得 ,

由此得 .

综上,当 时,有 ,当且仅当 时等号成立.

证法二:当 时,显然 ,等号成立.当

时,  ,等号也成立.

时,由(Ⅰ)知 .下证: ).

时,上面不等式化为 .令

时,  ,故 ,即所要证的不等式成立.

时,对 求导得 .

其中 ,则 ,即 上的减函数,故 ,从而 ,进而 上的增函数,因此 ,所要证的不等式成立.

时,令 ,则 ,由已证的结论知 ,两边同乘 得所要证的不等式.

综上,当 时,有 ,当且仅当 , 时等号成立.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(Ⅰ)它们是9,11,12,13,.                                      (4分)

(Ⅱ)证明:∵数列 的项构成,

∴只需讨论数列 的项是否为数列 的项.

∵对于任意

的项.                                                       (7分)

下面用反证法证明: 不是 的项.

假设 是数列 的项,设

,与 (矛盾).

∴结论得证.                                                             (10分)

(Ⅲ)∵

.                               (14分)

所以, .

综上, .                                   (18分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
(本小题满分13分)

解:(Ⅰ)由 知, ,         

,且

的一个零点,且 在(1,2)内有零点.

因此 至少有两个零点.

解法一: ,记

时, ,因此 上单调递增,则 内至多只有一个零点.

又因为 ,则 内有零点.

所以 )内有且只有一个零点.

记此零点为 ,则当 时,

时, .所以,

时, 单调递减.

,则 内无零点;

时, 单调递增,

)在 内至多只有一个零点.

从而 内至多只有一个零点.

综上所述, )有且只有两个零点.

解法二:由 ,记

时, ,从而 上单调递增,

内至多只有一个零点.

因此 内也至多只有一个零点.

综上所述, 有且只有两个零点.

(Ⅱ)记 的正零点为 ,即

(1)当 时,由 ,即

,因此 ,

由此猜想: 下面用数学归纳法证明.

①当 时, 显然成立.

②假设当 时, 成立,则当 时,

知, .

因此,当 时, 成立.

故对任意的 成立.

(2)当 时,由(Ⅰ)知, 上单调递增,

,即

从而 ,即

由此猜测: ;下面用数学归纳法证明.

①当 时, 显然成立。

②假设当 时, 成立,则当 时,

知,

因此,当 时, 成立.

故对任意的 成立.

综上所述,存在常数 ,使得对于任意的 ,都有

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂

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