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合情推理与演绎推理直接证明与间接证明数学归纳法

共计11道相关试题精选知识点题

【正确答案】
解析 (1)

,则 ,若 ,则

故函数 上单调递减,在 上单调递增,

所以函数 的极小值为 ,无极大值.                (3分)

(2)函数

,解得 (舍去),

时, 上单调递减时,

时, 上单调递增.

要使函数 在区间 内有两个零点,

只需

   

故实数 的取值范围是 .                                   (7分)

(3)证明:问题等价于 .

由(1)知 的最小值为

,则

上单调递增,在 上单调递减.

,即

故当 时, .                               (12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解析 (1)证明: ,         ①

,                            ②

②得 .                  ③

,有

代入③得

(2)解法一:  可化为

,即

的三个内角 所对的边分别为

由正弦定理可得

根据勾股定理的逆定理知 为直角三角形.

解法二:利用(1)中的结论, 可化为

因为 的内角,所以 ,

所以 .又因为 ,所以 , 所以 ,从而

又因为 ,所以 ,即

所以 为直角三角形.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:解法一:(Ⅰ)由 ,得

,得

所以

,得

时, 单调递减;

时, 单调递增.

所以当 时, 有极小值,

且极小值为

无极大值.

(Ⅱ)令 ,则

由(Ⅰ)得, ,即

所以 上单调递增,又

所以当 时, ,即

(Ⅲ)对任意给定的正数 ,取

由(Ⅱ)知,当 时,

所以当 时, ,即

因此,对任意给定的正数 ,总存在 ,当 时,恒有

解法二:(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)同解法一.

(Ⅲ)令 ,要使不等式 成立,只要 成立.

而要使 成立,则只需要 ,即 成立.

①若 ,则 ,易知当 时, 成立.

即对任意 ,取 ,当 时,恒有

②若 ,令 ,则

所以当 时, 内单调递增.

易知 ,所以

因此对任意 ,取 ,当 时,恒有

综上,对任意给定的正数 ,总存在 ,当 时,恒有

解法三:(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)同解法一.

(Ⅲ)①若 ,取 ,

由(Ⅱ)的证明过程知, ,

所以当 时,有 ,即

②若

,则

时, 单调递增.

易知 ,又 内单调递增,

所以当 时,恒有 ,即

综上,对任意给定的正数 ,总存在 ,当 时,恒有

注:对 的分类可有不同的方式,只要解法正确,均相应给分.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(Ⅰ)解法一: 

再由题设条件知 .

从而 是首项为0,公差为1的等差数列,

,即 .

解法二: 

可写为

因此猜想

下面用数学归纳法证明上式:

时结论显然成立.

假设 时结论成立,即 ,则

这就是说,当 结论成立.

所以

(Ⅱ)解法一:设 ,则

,即 ,解得

下面用数学归纳法证明加强命题

时, ,所以 ,结论成立.

假设 时结论成立,即

易知 上为减函数,

从而 ,即

再由 上为减函数得

,因此

这就是说,当 时结论成立.

综上,符合条件的c存在,其中一个值为

解法二:设 ,则

先证:  .                                              

时,结论明显成立.

假设 时结论成立,即

易知 上为减函数,

从而

.这就是说,当 时结论成立.故 成立.

再证:  .                                              ②

时, ,有 ,即 时②成立.

假设 时,结论成立,即

上为减函数,得

这就是说,当 时②式成立,所以②对一切 成立.

由②得

因此 .    ③

又由①、②及 上为减函数得

所以 ,解得 .    ④

综上,由②、③、④知存在 使 对一切 成立.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解: 由题设得,

(Ⅰ)由已知,

,可得

下面用数学归纳法证明.

①当 时, ,结论成立.

②假设 时结论成立,即

那么,当 时,

即结论成立.

由①②可知,结论对 成立.

(Ⅱ)已知 恒成立,即 恒成立.

时,  (仅当 时等号成立),

上单调递增,又

上恒成立,

时, 恒成立(仅当 时等号成立).

时,对 上单调递减,

时,存在 ,使 ,故知 不恒成立,

综上可知, 的取值范围是

(Ⅲ)由题设知

比较结果为

证明如下:

证法一  上述不等式等价于

在(Ⅱ)中取 ,可得

,则

下面用数学归纳法证明.

①当 时, ,结论成立.

②假设当 时结论成立,即

那么,当 时,

即结论成立.

由①②可知,结论对 成立.

证法二  上述不等式等价于

在(Ⅱ)中取 ,可得

,则

故有

……

上述各式相加可得 .

结论得证.

证法三  如图, 是由曲线 轴所围成的曲边梯形的面积,而 是图中所示各矩形的面积和,

 

结论得证.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(Ⅰ)由题设知 四点共圆,所以 .由已知得 ,故

(Ⅱ)设 的中点为 ,连结 ,则由 ,故 在直线  上.

不是 的直径,  的中点,故 ,即

所以 ,故

,故 .由(Ⅰ)知,  ,所以 为等边三角形.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(Ⅰ)由题设, 

两式相减得

由于 ,所以

(Ⅱ)由题设,  ,可得

由(Ⅰ)知, 

,解得

,由此可得

是首项为l,公差为4的等差数列,  ;

是首项为3,公差为4的等差数列, 

所以

因此存在 ,使得数列 为等差数列.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
  • A.方程 没有实根
  • B.方程 至多有一个实根
  • C.方程 至多有两个实根
  • D.方程 恰好有两个实根
【正确答案】
A
【命题立意】
反证法的考查
【解题思路】
要真正的理解反证法的证明过程,主要是理解好简易逻辑中命题的否定这一定义
【易错分析】
对反证法中假设反面成立即命题的否定概念不理解
创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
(1)6

(2)

【命题立意】

本题考查数列知识与归纳推理知识的应用,考查分析问题、解决问题的能力,难度较大.

【解题思路】

根据新定义逐步写出几个,再找规律求解.当 时, ,所以 位于 中的第6个位置.当 时, 中的第 个位置为 .

 …, 

   共分成16段,每一段 个数,又 ,即 是第4段的第11个数,所以位于 中的第 个位置.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂

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