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首页高考知识点数学知识点22.不等式基本不等式的综合应用

高考数学知识点

基本不等式的综合应用

绩优堂高考知识点基本不等式的综合应用

考点

不等式及其性质基本不等式的综合应用一元二次不等式及其解法二元一次不等式(组)表示的平面区域及线性规划

共计79道相关试题精选知识点题

【正确答案】
解:(1)由题意得

所以椭圆C的方程为  .(4分)

(2)设  ,  ,  .

由题意知直线  的斜率存在,不妨设其为  ,

则直线  的方程为  .

又圆  :  ,故点  到直线  的距离  ,

所以  .

 ,故直线  的方程为  .

消去  ,整理得

 .

所以  .

 的面积为  ,

 ,

所以

 ,

当且仅当  时取等号.所以所求直线  的方程为  .(12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
3
【命题立意】

本题考查直线与圆的方程及均值不等式的综合应用,难度较小.

【解题思路】

据直线方程得 ,又由直线被圆截得弦长为 ,可得圆心到直线的距离为 ,即 ,整理得 ,因此据均值不等式得 ,当且仅当 时取得最小值 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(Ⅰ)令 ,得

由实际意义和题设条件知

,当且仅当 时取等号.

所以炮的最大射程为 千米.

(Ⅱ)因为 ,所以炮弹可集中目标

存在 ,使 成立

关于 的方程 有正根

判别式 .

所以当 不超过 (千米)时,可击中目标.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识,考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识,考查函数、转化与化归、特殊与一般等数学思想方法.

   解:(Ⅰ)由已知得交点  的坐标为  .

 求导得  则抛物线在点  处的切线方程为

 ,即  .则       (3分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知  ,则  成立的充要条件是

即知  对于所有的  成立.

特别地,取  时,得到  .当  ,  时,

 

 .

 时,显然  .

故当  时,  对所有自然数  都成立.

所以满足条件的  的最小值是  。                            (8分)

(Ⅲ)由(Ⅰ)知  ,则  ,  .

下面证明:

首先证明:当  时,  .

设函数  ,  ,

 .

 时,  ;当  时,  .

 在区间  上的最小值  .

所以,当  时,  ,即得  .

 知    ,因此  ,

从而

                    (14分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
D
【命题立意】

本题考查直线与圆的位置关系及均值不等式的应用,考查考生的化简、运算、变形等数据处理能力,难度中等.

【解题思路】

由直线与圆相切得 ,两边平方并整理得 ,显然 ,故 ,因此

时,利用均值不等式得 ;当 时,利用均值不等式得

,故 的取值范围是 ,故选D.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
【命题立意】

本题主要考查重要不等式“ ”的灵活应用。

【解题思路】

两边同乘以 ,得 所以 ①,又由 ,得 ②,① 代入②,得 ,∴,当且仅当 时, 取得最大值

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
【命题立意】

本题考查了函数的对称性及曲线弦长的最值问题,体现了平面几何特征在解决几何图形最值问题中的巧妙应用。

【解题思路】

函数 的图象关于原点对称, 坐标关于原点对称,即可得 ,设点 的坐标为( ),则

,当且仅当 时,线段 长取得最小值

【题眼】

解决此类弦长最值的关键在于将弦长公式用曲线上点的坐标表示,最终将其表示为一个函数的形式,通过函数求最值或用基本不等式来求最值。

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
【命题立意】

本题考查两点间距离公式、二次函数以及基本不等式,考査换元法的应用,难度中等.

【解题思路】

设出点 的坐标,利用两点间距离公式,通过换元法转化为二次函数求解.设 ,则 ,令 ,则 .当 时, 时, ,解得 (舍负);当 时, 时, ,解得 (舍去 ),故满足条件的实数 的所有值为 .

【易错点拨】

对称轴不确定的二次函数问题,需要对对称轴与所给区间的位置关系进行讨论,这一点经常被遗忘.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
D
【命题立意】

本题主要考查平面向量、不等式的性质、基本不等式等知识.同时考查转化思想、数形结合的思想,以及综合分析问题的能力,难度较大.

【解题思路】

根据条件知 构成一个矩形 ,以 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,设 ,点 的坐标为 ,则点 的坐标为 .由 又由 ,得 ,则 ,即   ①.又 ,得 ,则 ;同理由 ,得 ,即有   ②.由①②知 ,所以 .而 ,所以 ,故选

【方法点拨】

本题能联想到通过建立直角坐标系来解决,主要是观察到 构成一个矩形 ,而向量与坐标有着密切的联系.由于是选择题,推到 后即可得到 ,由此可排除 ,从而选 ,这种求解得到正确选择得力于解答选择题的一种基本方法——排除法的应用,这在考场上是值得提倡的.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
B
【命题立意】

本题主要考查基本不等式的应用,难度较小.

【解题思路】

因为 ,所以 ,当且仅当 ,即 时等号成立,故选B.

【方法归纳】

是否能利用基本不等式求最值,主要考虑三个方面:

(1)观察各项是否为正;(2)确定两项的和或积是否为定值;(3)考察是否能取得等号.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
答案 
【答案详解】

解析     ,即 ,因为 ,所以 所以 ,当且仅当 ,即 时取等号,故 的最大值是

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
C
【答案详解】

因为 ,所以要使不等式恒成立,则 恒成立,即 ,所以 ,因为 ,所以 ,所以使不等式恒成立的 的取值范围是 ,故选C.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂

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