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首页高考知识点数学知识点21.数列的综合问题数列的综合应用

高考数学知识点

数列的综合应用

绩优堂高考知识点数列的综合应用

考点

数列求和与数列通项数列的综合应用

共计71道相关试题精选知识点题

【正确答案】
 (1)设数列 的公差为   ,由已知得

解得

   

(2)证明:  

  ,                                          ①

,                                  ②

①-②得  

         

    .又

    最小,即

综上所述,  

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
(1)由已知点 上知, 数列 是以 为首项, 为公差的等差数列,  

(2)证明: 在直线 上,

  .                                                         ①

  ,                                             ②

①②两式相减得    

对于①式,令 ,得  

  是以 为首项, 为公比的等比数列.

(3)证明:由(2)可知

   

 

 

【点拨】

第(1)问将点 坐标代入 ,判断数列 是等差数列,由此可求出 ;第(2)问通过 证明 是等比数列;第(3)问将 的证明转化为证明   ,其中关键是对差的变形.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
(1)由 ,得     ,即  

     

数列 是首项为,公比为的等比数列,  

(2)  数列 是首项为 ,公比为 的等比数列, 数列 是首项为,公比为 的等比数列,   ,又   不等式 ,即得  

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
B
【答案详解】

假设2013年为第一年,2014年为第二年,……,第 年该地区的农民人均工资性收入与其他收入分别为 元, 元,则 ,由题意知, 构成公比 的等比数列, 构成公差 的等差数列.2018年为第六年,  (元).故选B.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
(1)证明:以点 为切点的切线方程为

时,得 ,即

  数列 是以1为首项, 为公比的等比数列,

通项公式 .

(2)据题意得

,                                  ①

  ,                                   ②

①-②得

   

化简得

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
(1)证明: ,当 时,由 ,所以 是首项和公比均为 的等比数列.

(2)由(1)的得 ,于是

所以 ,于是 ,而 ,所以问题转化为比较 的大小.

,当 时, ,而 ,所以

经验证当 时,仍有 .因此对任意的正整数 ,都有

【点拨】

解答第(2)问时,可利用裂项法求出 .再构造函数利用函数的单调性和有界性来比较 的大小.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识,考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识,考查函数、转化与化归、特殊与一般等数学思想方法.

   解:(Ⅰ)由已知得交点  的坐标为  .

 求导得  则抛物线在点  处的切线方程为

 ,即  .则       (3分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知  ,则  成立的充要条件是

即知  对于所有的  成立.

特别地,取  时,得到  .当  ,  时,

 

 .

 时,显然  .

故当  时,  对所有自然数  都成立.

所以满足条件的  的最小值是  。                            (8分)

(Ⅲ)由(Ⅰ)知  ,则  ,  .

下面证明:

首先证明:当  时,  .

设函数  ,  ,

 .

 时,  ;当  时,  .

 在区间  上的最小值  .

所以,当  时,  ,即得  .

 知    ,因此  ,

从而

                    (14分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
详见解析
【命题立意】

本小题主要考查等差、等比数列的概念以及通项公式、等比数列的求和公式等基础知识,同时考查运算求解能力及推理论证能力。满分14分。

【解题思路】
解:(Ⅰ)设等差数列 的公差为

由题意可知

,从而

因为 ,所以

故通项公式

(Ⅱ)记 ,因为

所以

       

从而,当 时, ;当 时,

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
详见解析
【命题立意】

本小题主要考查数列的通项与前 项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识,考查考生分析探究及逻辑推理的能力。满分16分。

【解题思路】
解:(Ⅰ)由题设知,当 时,

从而 .又

故当 时,

所以 的值为 .

(Ⅱ)由题设知,当 ,且 时,

两式相减得

所以当 时, 成等差数列,

也成等差数列。

从而当 时,

所以当 时, ,即 .于是当 时, 成等差数列,

从而

故由 式知 ,即

时,设

时, ,从而由 式知

从而

于是

因此, 对任意 都成立。

又由

可知

解得 ,从而

因此,数列 为等差数列。由

所以数列 的通项公式为

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂

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