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首页高考知识点数学知识点20.等差数列与等比数列等比数列的概念与运算

高考数学知识点

等比数列的概念与运算

绩优堂高考知识点等比数列的概念与运算

考点

数列的概念、数列的递推公式等差数列的概念与运算等差数列的性质及前n项和等比数列的概念与运算等比数列的性质与前n项和

共计89道相关试题精选知识点题

【正确答案】
C
【答案详解】

 解法一:设公比为 ,则由 解得

    故

    解法二:由题意得 , ,所以 , ,又 ,∴ ,故

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
D
【命题立意】

本题考查等比数列的通项公式与性质的应用,难度较小.

【解题思路】

据等比数列性质得 解得 ,即 ,而

. ,分别将 代入得 .

【举一反三】

利用等差、等比数列的通项公式和前n项和公式,由五个量 中的三个量可求其余两个量,即“知三求二”,体现了方程思想.解答等差、等比数列的有关问题时,“基本量”(等差数列中的首项 和公差 或等比数列中的首项 和公比 )法是常用方法.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
答案详见解析。
【命题立意】

本题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、前 项和公式,数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力,考查化归与转化的思想方法.满分13分.

【解题思路】

解:(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ,等比数列 的公比为

由条件,得方程组 解得

所以 .

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)得

. ②

由①-②得

而当 时,

所以,

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
【命题立意】

本题主要考查古典概型的概率计算以及等比数列的概念,难度中等.

【解题思路】

求出基本事件的个数,再利用古典概型的概率公式求解.因为该等比数列的偶数项都是负数,奇数项为正数,其中小于 的奇数项只有第 ,所以“这个数小于 ”的基本事件有 个,故所求概率为 .

【举一反三】

古典概型的概率计算关键是基本事件的计数,基本事件的计数方法一般是列举法、画树形图等;而几何概型的概率计算则关键是测度的选择和计算.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(Ⅰ)由题设知

所以 ,从而

所以数列 是以 为公差的等差数列.

(Ⅱ)因为 ,所以

从而 .(*)

设等比数列 的公比为 ,由 .下证 .

,则

故当 时, ,与 矛盾.

,则

故当 时, ,与 矛盾.

综上, ,故 ,所以 .

所以 是公比为 的等比数列.

,则 ,于是 .

又由

所以 中至少有两项相同,矛盾.

所以 ,从而 .

所以 .

【命题立意】

本题主要考查等差数列和等比数列的基本性质、基本不等式等基础知识,考查考生分析探究及逻辑推理的能力.满分16分.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
本题主要考查等比数列、等差数列、对数等基础知识,考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力,考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.

解:(I)取  ,得      ①

 ,得      ②

又②-①,得        ③

(1)若  ,由①知  ,

 (2)若  由③知                ④

由①④解得  ,  或  ,  .    

综上可得  或  或  .(5分)

(Ⅱ)当  时,由(I)知,  ,  . 

 时,有  ,     ,

所以  ,即  ,

所以  .

 ,

 ,

所以数列  是单调递减的等差数列(公差为  ),

从而  ,

 时,  ,

故,  时,  取得最大值,且  的最大值为

 .                            (12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
本题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、前 项和公式,数列求和等基础知识,考查化归与转化的思想方法,考查运算能力、推理论证能力.满分13分.

解:(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ,等比数列 的公比为 .

.得 .

由条件,得方程组 解得

所以 .

(Ⅱ)证法一:由(Ⅰ)得

由②—①得

.

.

证法二:数学归纳法

(1)当 时, ,故等式成立;

(2)假设当 时等式成立,即

则当 时有

因此 时等式也成立.

由(1)和(2),可知对任意 成立.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
【命题立意】

本题考查了等差数列与等比数列及不等关系的探究问题,在不等式组条件下以多元形式来考查参数的最值,体现了多元认识能力的应用。

【解题思路】

由已知条件可得 ,当 时, 应取得最小值,此时有 ,即得 的最小值是

【易错点】

不等式组取的是不等式解集的交集,而取交集过程中应当执行“同小取大,同大取小”,不能将之搞混淆。

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
本题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和等基础知识,考查分析转化能力及推理论证能力.满分16分.

解:由题设, .

(I)由 ,得 .

又因为 成等比数列,所以 ,

,化简得 .

因为 ,所以 ,

因此,对于所有的 ,有 .

从而对于所有的 ,有 .

(II)设数列 的公差是 ,则 .

,代入 的表达式,整理得,对于所有的 ,

.

,则对于所有的 ,有

在(*)式中分别取 ,得 ,

从而有

由②③得 ,代入方程①,得 从而 .

.

,则由 ,得 ,与题设矛盾,所以 .

又因为 ,所以 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
本题主要考查等差数列、等比数列的概念,等差数列通项公式、求和公式等基础知识,同时考查运算求解能力.满分14分.

解:(I)由题意得 ,即 .

.

所以 .

(II)设数列 的前 项和为 .

因为 ,由(I)得 .则

时, .

时, .

综上所述,

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
C
【命题立意】

本题考查了等比数列的基本量计算问题,难度中等.

【解题思路】

数列 是等比数列,

,故应选C.

【举一反三】

解决数列的计算问题过程中要注意整体思想的灵活应用,可以简便计算,避免讨论.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂

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