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首页高考知识点数学知识点20.等差数列与等比数列等差数列的概念与运算

高考数学知识点

等差数列的概念与运算

绩优堂高考知识点等差数列的概念与运算

考点

数列的概念、数列的递推公式等差数列的概念与运算等差数列的性质及前n项和等比数列的概念与运算等比数列的性质与前n项和

共计91道相关试题精选知识点题

【正确答案】
(1)由    ①,得   ②.

 ②可得:  ,即  ,所以  ,故数列  为公差为  的等差数列,由  得 ,所以  .

(2)  ,  ,

    ,

       ,

 ,  ,  正整数  的最小值是  .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
        
【答案详解】

  记等差数列 的公差为    

.                                                                                            ①

  ,即   .                              ②

由①②解得  

  ,因此当 时, 取得最小值

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
A
【答案详解】

  由题意设等差数列 的公差为 ,因为 ,所以 .又   成等比数列,   ,即

整理得       .故选A.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
A
【答案详解】

  方法一:由等差数列性质可知 ,所以 ,所以

方法二:设数列 的首项为 ,公差为 ,由 ,即 ,化简得 ,故

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
C
【答案详解】

  由题意可知, ,由于 是等差数列,所以

,解得  (  舍去),又 ,所以 ,从而 .所以

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
答案详见解析。
【命题立意】

本题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、前 项和公式,数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力,考查化归与转化的思想方法.满分13分.

【解题思路】

解:(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ,等比数列 的公比为

由条件,得方程组 解得

所以 .

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)得

. ②

由①-②得

而当 时,

所以,

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(Ⅰ)由题设知

所以 ,从而

所以数列 是以 为公差的等差数列.

(Ⅱ)因为 ,所以

从而 .(*)

设等比数列 的公比为 ,由 .下证 .

,则

故当 时, ,与 矛盾.

,则

故当 时, ,与 矛盾.

综上, ,故 ,所以 .

所以 是公比为 的等比数列.

,则 ,于是 .

又由

所以 中至少有两项相同,矛盾.

所以 ,从而 .

所以 .

【命题立意】

本题主要考查等差数列和等比数列的基本性质、基本不等式等基础知识,考查考生分析探究及逻辑推理的能力.满分16分.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
本题主要考查等比数列、等差数列、对数等基础知识,考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力,考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.

解:(I)取  ,得      ①

 ,得      ②

又②-①,得        ③

(1)若  ,由①知  ,

 (2)若  由③知                ④

由①④解得  ,  或  ,  .    

综上可得  或  或  .(5分)

(Ⅱ)当  时,由(I)知,  ,  . 

 时,有  ,     ,

所以  ,即  ,

所以  .

 ,

 ,

所以数列  是单调递减的等差数列(公差为  ),

从而  ,

 时,  ,

故,  时,  取得最大值,且  的最大值为

 .                            (12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
本题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、前 项和公式,数列求和等基础知识,考查化归与转化的思想方法,考查运算能力、推理论证能力.满分13分.

解:(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ,等比数列 的公比为 .

.得 .

由条件,得方程组 解得

所以 .

(Ⅱ)证法一:由(Ⅰ)得

由②—①得

.

.

证法二:数学归纳法

(1)当 时, ,故等式成立;

(2)假设当 时等式成立,即

则当 时有

因此 时等式也成立.

由(1)和(2),可知对任意 成立.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
【命题立意】

本题考查了等差数列与等比数列及不等关系的探究问题,在不等式组条件下以多元形式来考查参数的最值,体现了多元认识能力的应用。

【解题思路】

由已知条件可得 ,当 时, 应取得最小值,此时有 ,即得 的最小值是

【易错点】

不等式组取的是不等式解集的交集,而取交集过程中应当执行“同小取大,同大取小”,不能将之搞混淆。

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
详见解析
【命题立意】

本小题主要考查数列的通项与前 项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识,考查考生分析探究及逻辑推理的能力。满分16分。

【解题思路】
解:(Ⅰ)由题设知,当 时,

从而 .又

故当 时,

所以 的值为 .

(Ⅱ)由题设知,当 ,且 时,

两式相减得

所以当 时, 成等差数列,

也成等差数列。

从而当 时,

所以当 时, ,即 .于是当 时, 成等差数列,

从而

故由 式知 ,即

时,设

时, ,从而由 式知

从而

于是

因此, 对任意 都成立。

又由

可知

解得 ,从而

因此,数列 为等差数列。由

所以数列 的通项公式为

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
本题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和等基础知识,考查分析转化能力及推理论证能力.满分16分.

解:由题设, .

(I)由 ,得 .

又因为 成等比数列,所以 ,

,化简得 .

因为 ,所以 ,

因此,对于所有的 ,有 .

从而对于所有的 ,有 .

(II)设数列 的公差是 ,则 .

,代入 的表达式,整理得,对于所有的 ,

.

,则对于所有的 ,有

在(*)式中分别取 ,得 ,

从而有

由②③得 ,代入方程①,得 从而 .

.

,则由 ,得 ,与题设矛盾,所以 .

又因为 ,所以 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂

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