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首页高考知识点数学知识点18.随机变量及其分布事件的独立性与条件概率

高考数学知识点

事件的独立性与条件概率

绩优堂高考知识点事件的独立性与条件概率

考点

事件的独立性与条件概率独立重复试验与二项分布、正态分布离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的均值与方差

共计17道相关试题精选知识点题

【正确答案】
【命题立意】

本题考查正态分布的性质应用及相互独立事件同时发生的概率求解,难度中等.

【解题思路】

由于三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布 ,故每个元件使用寿命超过 小时的概率 ,故该部件的使用寿命超过 小时的概率 .

【题眼】

本题关键是确定每个元件使用寿命超过 小时的概率,其符合正态分布 ,利用其性质确定概率是至关重要一步.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
本题主要考查相互独立事件、独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力.

解:(Ⅰ)设“至少有一个系统不发生故障”为事件  ,

那么  ,解得  .                    (4分)

(Ⅱ)由题意,  ,

 ,

 ,

 ,  所以,随机变量  的概率分布列为:

故随机变量  的数学期望

 .            (12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
(本小题满分12分)

解:(Ⅰ)记“该射手恰好命中一次”为事件 ,“该射手射击甲靶命中”事件为 ,“该射手第一次射击乙靶命中”为事件 ,“该射手第二次射击乙靶命中”为事件

由题意知

由于

根据事件的独立性和互斥性得

(Ⅱ)根据题意, 的所有可能取值为

   根据事件的独立性和互斥性得

分布列为

所以 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:记 表示事件:同一工作日乙、丙中恰有 人需使用设备,

表示事件:甲需使用设备,

表示事件:丁需使用设备,

表示事件:同一工作日至少3人需使用设备,

表示事件:同一工作日4人需使用设备,

表示事件:同一工作日需使用设备的人数大于

(Ⅰ) 

.

所以

 

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,若 ,则

,则

所以 的最小值为3.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:记 表示事件:同一工作日乙、丙中恰有 人需使用设备,  ,

表示事件:甲需使用设备,

表示事件:丁需使用设备,

表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.

(Ⅰ)  ,

所以

(Ⅱ)  的可能取值为 ,则

,

,

,

数学期望

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”, 表示“第k局甲获胜”, 表示“第k局乙获胜”,则

(Ⅰ) 

(Ⅱ)X的可能取值为

故X的分布列为

   

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:记 表示事件:第1次和第2次这两次发球,甲共得 分,

表示事件:第3次和第4次这两次发球,甲共得 分,

表示事件:第3次发球,甲得1分;

表示事件:开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2;

表示事件:开始第5次发球时,甲得分领先.

(I)

,(3分)

.(6分)

(II)

.

(9分)

.(12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】

表示第 次调题调用到 类型试题, .

(Ⅰ)

(Ⅱ) 的可能取值为 .

.

.

从而 的分布列是

.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
B
【命题立意】

本题考查对条件概率的理解与运算,难度较小.

【解题思路】

取到的两个数之和为偶数可以是两个数均为偶数也可能是两个数均为奇数,易知共有4种可能,其中取到的两个数均为偶数的情况只有1种,故

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】

本题考查相互独立事件的概率计算,考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识,考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理,分类讨论思想,应用意识与创新意识.满分13分.

解:(I)无论以怎样的顺序派出人员,任务不能被完成的概率都是 ,所以任务都被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关,并等于

(Ⅱ)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为q1,q2,q3时,随机变量X的分布列

所需派出的人员数目的均值(数学期望)EX是

   

(Ⅲ)解法一:由(Ⅱ)的结论知,当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时, .

根据常理,优先派出完成任务概率大的人,可减少所需派出的人员数目的均值.

下面证明:对于 的任意排列 都有

,   (*)

事实上,

即(*)成立.

解法二:(i)可将(Ⅱ)中所求的 改写为 ,若交换前两人的派出顺序,则变为 ,由此可见,当q2>q1,时,交换前两人的派出顺序可减小均值.

(ii)也可将(Ⅱ)中所求的EX改写为 ,若交换后两人的派出顺序,则变为 .由此可见,若保持第一个派出的人选不变,当 时,交换后两人的派出顺序也可减小均值.

综合(i)(ii)可知,当 时, 达到最小.即完成任务概率大的人优先派出,可减小所需派出人员数目的均值,这一结论是合乎常理的.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】

(I)设 表示事件“观众甲选中3号歌手”,

表示事件“观众乙选中3号歌手”,

∵事件 相互独立,

∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为

(或 ).

(II)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”,

可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为

的分布列为

的数学期望

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】

(I)记“甲队以 胜利”为事件 ,“甲队以 胜利”为事件 ,“甲队以 胜利”为事件 ,由题意,各局比赛结果相互独立,故

.

所以,甲队以 胜利、以 胜利的概率都为 ,以 胜利的概率为 .

(II)设“乙队以 胜利”为事件

由题意,各局比赛结果相互独立,所以 .

由题意,随机变量 的所有可能的取值为

根据事件的互斥性得

,

,

的分布列为

所以 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(I)设事件 “张同学所取的 道题至少有 道乙类题”,则有 “张同学所取的3道题都是甲类题”.

因为 ,所以 .(6分)

(II) 所有的可能取值为 .

.

所以X的分布列为

(10分)

所以 .(12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解法一:(Ⅰ)由已知得,小明中奖的概率为 ,小红中奖的概率为 ,且两人中奖与否互不影响.记“这2人的累计得分 ”的事件为A,则事件A的对立事件为“ ”,因为 ,所以 ,即这 人的累计得分 的概率为

(Ⅱ)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 ,都选择方案乙抽奖中奖次数为 ,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 ,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 .由已知可得, ,

所以

从而 ,

因为 ,所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.

解法二:(Ⅰ)由已知得,小明中奖的概率为 ,小红中奖的概率为 ,且两人中奖与否互不影响.记“这 人的累计得分 的事件为

则事件 包含有 三个两两互斥的事件,

因为

,

,

所以 ,

即这 人的累计得分 的概率为 .

(Ⅱ)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 ,都选择方案乙所获得的累计得分为 ,则 的分布列如下:

所以

.

因为 ,所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂

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