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首页高考知识点数学知识点15.圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合应用

高考数学知识点

圆锥曲线的综合应用

绩优堂高考知识点圆锥曲线的综合应用

考点

直线与圆锥曲线的位置关系曲线与方程圆锥曲线的综合应用

共计44道相关试题精选知识点题

【正确答案】
(1)解:设  ,又知  ,则

直线  的方程为  ,(1)

直线  的方程为  ,(2)

由(1),(2)得  ,(3)

由点  在椭圆  上,故  。从而

 代入(3)得

 (6分)

(2)证明:设  由矩形  与矩形  的面积相等,得

 ,故

因为点  均在椭圆上,所以

 ,知  ,所以  .从而  ,因此

 为定值.(12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
答案详见解析。
【命题立意】

本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的距离公式等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质以及数形结合的数学思想方法,考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.满分14分.

【解题思路】

解:(Ⅰ)因为点 在椭圆上,

可得

于是 所以椭圆的离心率

(Ⅱ)设直线 的斜率为 ,则其方程为 .

设点 的坐标为 .

由条件得 消去 并整理得

,得

整理得

代入①,整理得

由(Ⅰ)知

可得

所以直线 的斜率

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
本题主要考查直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考查思维能力、运算能力,

考查函数、分类与整合等数学思想,并考查思维的严谨性.

解:(Ⅰ)设  的坐标为  ,显然有  ,  .

 时,点  的坐标为  .

 时;  .由  ,

 ,即  .

化简可得  .

而点  在曲线  上,

综上可知,轨迹  的方程为  .                 (5分)

(Ⅱ)由  消去  ,可得  .(*)

由题意,方程(*)有两根且均在  内.

 ,

所以    解得,  ,且  .

 、  的坐标分别为  ,由  有

 .

所以

 ,且  ,有  ,

所以  的取值范围是  .                       ( 12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
(本小题满分13分)

解:(Ⅰ)依题意知 ,圆心 在线段 的垂直平分线 上,因为抛物线 的准线方程为 ,所以 ,即 ,因此抛物线 的方程为 .

(Ⅱ)假设存在点 满足条件,抛物线 在点 处的切线斜率为

所以直线 的方程为

,所以 .

因此 ,又

所以 ,此时 .

故存在点 ,使得直线 与抛物线 相切于点 .

(Ⅲ)当 时,由(Ⅱ)得

半径为

所以 的方程为 .

整理得 .

两点的坐标分别为

由于

所以 .

整理得 .

亮点的坐标分别为

由于

所以 .

因此 .

,由于 ,则

所以 ,

,

因为

所以当

即函数 上是增函数,

所以当 时, 取到最小值

因此当 时, 取到最小值 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解析 (1)证明:设点 的坐标为 ,令

因为点 在椭圆 上,所以 ,则

代入

其对称轴方程为

由题意知 恒成立,

在区间 上单调递增.

当且仅当椭圆 上的点 在椭圆的左、右顶点时, 取得最小值与最大值.

(2)由已知与(1)得

椭圆 的标准方程为

(3)如图所示,设 ,联立

,则

椭圆的右顶点为

解得 ,且均满足

时, 的方程为 ,直线过定点 ,与已知矛盾.

时, 的方程为 ,直线过定点 直线 过定点,定点坐标为

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解析 (1)由 上,得 .                          (1分)

直线 的斜率 ,而直线 的斜率 ,所以 ,解得 ,则

所以椭圆 的方程为 .                                      (4分)

(2)存在.假设存在椭圆 ,使得 恒为常数,椭圆 的半焦距为

时,有

时,有

.                                                (6分)

①当 时,

所以 ,化简整理得 .这是不可能的. (7分)

②当 时,

所以 ,化简整理得

所以

两边同除以 ,得

解得 (舍去).                      (9分)

可见,若存在椭圆 满足题意,只可能离心率

上任意一点,则

.             (10分)

,得

所以

从而 .                                                  (12分)

因此,

所以 为常数.

所以存在这样的椭圆 ,使得 恒为常数 ,且离心率 .         (15分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解析 (1)联立曲线 ,消去 可得 ,即 ,根据条件可得 解得 .                                                                     (4分)

(2)存在.设

.                                                                       (6分)

,则

,(7分)

,可得当 时, 的最大值为 ,从而 的最大值为

,得 .                                         (9分)

联立曲线 的方程,消去 并整理得 ,解得

所以 点坐标为 点坐标为

则直线 的方程为 ,                  (11分)

时, ,由对称性可知 的交点在 轴上,

即对角线 的交点坐标为 .                             (12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解析 (1)设 的公共焦点为 ,由题意得

.                                              (2分)

所以椭圆 ,抛物线 .                           (4分)

(2)存在.设

直线 的方程为 ,与椭圆 的方程联立得

化简得

,                                   (6分)

,      (7分)

直线 的方程 与抛物线 的方程联立得

化简得

.                                                  (9分)

.                                     (11分)

要使 为常数,则 ,得

故存在 ,使 为常数.                          (13分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解析(1)依题意可知,直线 的斜率存在,设其方程为

将其代入 ,整理得

,所以 .故点 的横坐标为 .解得

(2)假设存在直线 ,使得 ,显然直线 不能与 轴垂直.

由(1)可得 .

点坐标为

因为

所以

解得 ,即

因为

所以 .

所以

整理得

因为此方程无解,

所以不存在直线 ,使得

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂

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