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首页高考知识点数学知识点15.圆锥曲线的综合问题曲线与方程

高考数学知识点

曲线与方程

绩优堂高考知识点曲线与方程

考点

直线与圆锥曲线的位置关系曲线与方程圆锥曲线的综合应用

共计33道相关试题精选知识点题

【正确答案】
【命题立意】

本题考查了函数的对称性及曲线弦长的最值问题,体现了平面几何特征在解决几何图形最值问题中的巧妙应用。

【解题思路】

函数 的图象关于原点对称, 坐标关于原点对称,即可得 ,设点 的坐标为( ),则

,当且仅当 时,线段 长取得最小值

【题眼】

解决此类弦长最值的关键在于将弦长公式用曲线上点的坐标表示,最终将其表示为一个函数的形式,通过函数求最值或用基本不等式来求最值。

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解析 (1)设 ,则

由题意,得 ,即

轨迹 是中心在坐标原点,焦点在 轴上的椭圆(除去 轴上的两顶点),其中长轴长

,短轴长为

(2)若 ,则曲线 的方程为

消去 ,得

,得

此时直线 与曲线 有且只有一个交点.

(3)证明:由(2)知直线 的方程为 ,设点 表示 到点 的距离, 表示 到直线 的距离,则

,得

时,

时,

时取得最小值,即 取得最小值,

又椭圆的离心率为

的最小值等于椭圆的离心率.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解析 (1)由题设知点 到点 的距离等于它到 的距离,

的轨迹是以 为焦点, 为准线的抛物线, 动点 的轨迹方程为

(2)由题意知,直线 的方程可设为 ,与抛物线方程联立消去 ,得

,则

又易得点 的坐标为

(当且仅当 时取等号),

,即 的最小值为

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
答案 以 为焦点的双曲线的右支
【答案详解】

解析     的圆心为 ,半径为 ,设动圆的圆心为 ,半径为 ,因为动圆与 外切,又与 内切,所以 ①, ②.

由① ②得

根据双曲线的定义知,动圆圆心的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
答案 
【答案详解】

解析    解法一:直接法.设 ,则

化简得 ,由于 三点构成三角形,

不能落在 轴上,即

解法二:定义法.如图所示,设 的中点,

轴于

,则

顶点 的轨迹为以 为圆心, 为半径的圆,即 ,又 三点构成三角形, 点的纵坐标 ,故顶点 的轨迹方程为

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(Ⅰ)设 其中 .

从而 ,故

从而 ,由

因此

所以

因此,所求椭圆的标准方程为

(Ⅱ)如图,设圆心在y轴上的圆C与椭圆 相交, 是两个交点, 是圆C的切线,且

由圆和椭圆的对称性,易知

由(Ⅰ)知 所以 .再由 .由椭圆方程得

,解得

时, 重合,此时题设要求的圆不存在.

时,过 分别与 垂直的直线的交点即为圆心C.

是圆C的切线,且 .知 ,又

故圆 的半径

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂

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