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首页高考知识点数学知识点15.圆锥曲线的综合问题直线与圆锥曲线的位置关系

高考数学知识点

直线与圆锥曲线的位置关系

绩优堂高考知识点直线与圆锥曲线的位置关系

考点

直线与圆锥曲线的位置关系曲线与方程圆锥曲线的综合应用

共计128道相关试题精选知识点题

【正确答案】
解:(1)设椭圆  的方程为  .

根据题意知  , 解得  ,    

故椭圆  的方程为  . (4分)

(2)容易求得椭圆  的方程为  .

当直线  的斜率不存在时,其方程为  ,不符合题意;

当直线的斜率存在时,设直线  的方程为  .

  得  .

 ,则

  

因为  ,所以  ,即

  

  

 ,

解得  ,即  .

故直线  的方程为  或  .(12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(1)由题意得

所以椭圆C的方程为  .(4分)

(2)设  ,  ,  .

由题意知直线  的斜率存在,不妨设其为  ,

则直线  的方程为  .

又圆  :  ,故点  到直线  的距离  ,

所以  .

 ,故直线  的方程为  .

消去  ,整理得

 .

所以  .

 的面积为  ,

 ,

所以

 ,

当且仅当  时取等号.所以所求直线  的方程为  .(12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(I)由已知可得 为等腰直角三角形, ,圆 的半径 ,由抛物线定义可知 的距离

因为 的面积为 所以 ,即 ,解得

 (舍去)或 .                                  (3分)

所以, 的方程为 .                                  (5分)

(II)因为 三点在同一直线 上,所以 为圆 的直径, .由抛物线定义知 ,所以 的斜率为 .   (7分)

的斜率为 时,由已知可设 ,代入 .由于 只有一个公共点,故 ,解得 .因为 轴上的截距 ,所以坐标原点到 距离的比值为 .

的斜率为 时,由图形对称性可知,坐标原点到 距离的比值为 .      (12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
答案详见解析。
【命题立意】

本题主要考查直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考查思维能力、运算能力、考查函数、分类与整合等数学思想,并考查思维的严谨性.

【解题思路】

解:(I)设 的坐标为 时,直线 的斜率不存在;当 时,直线 的斜率不存在.

于是

此时, 的斜率为 的斜率为 .

由题意,有 ,化简可得 .

故动点 的轨迹 的方程为 .        (4分)

(II)由 消去 ,可得 (*)

对于方程(*),其判别式

而当 为方程(*)的根时, 的值为 .

结合题设 可知, ,且 .

的坐标分别为

为方程(*)的两根.

因为 ,所以

.

所以 .

此时  ,且

所以 ,且

所以 ,且 .综上所述, 的取值范围是 .                             (12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
答案详见解析。
【命题立意】

本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的距离公式等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质以及数形结合的数学思想方法,考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.满分14分.

【解题思路】

解:(Ⅰ)因为点 在椭圆上,

可得

于是 所以椭圆的离心率

(Ⅱ)设直线 的斜率为 ,则其方程为 .

设点 的坐标为 .

由条件得 消去 并整理得

,得

整理得

代入①,整理得

由(Ⅰ)知

可得

所以直线 的斜率

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(Ⅰ)由题设知 .

   

由点 在椭圆上,得 ,解得

于是 ,又点 在椭圆上,

所以 ,即 ,解得 .

因此,所求椭圆的方程是 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,又直线 平行,

所以可设直线 的方程为

直线 的方程为 .

.

解得

 ①

同理,

(i)由①②得

,注意到 ,故 .

所以直线 的斜率为 .

(ii)因为直线 平行,所以

于是 ,故 .

点在椭圆上知

从而 .

同理 .

因此,

.

又由①②知. 

所以 .因此, 是定值.

【命题立意】

本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质、直线方程、两点间的距离公式等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.满分16分.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
本题主要考查直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考查思维能力、运算能力,

考查函数、分类与整合等数学思想,并考查思维的严谨性.

解:(Ⅰ)设  的坐标为  ,显然有  ,  .

 时,点  的坐标为  .

 时;  .由  ,

 ,即  .

化简可得  .

而点  在曲线  上,

综上可知,轨迹  的方程为  .                 (5分)

(Ⅱ)由  消去  ,可得  .(*)

由题意,方程(*)有两根且均在  内.

 ,

所以    解得,  ,且  .

 、  的坐标分别为  ,由  有

 .

所以

 ,且  ,有  ,

所以  的取值范围是  .                       ( 12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
  本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的距离公式等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质以及数形结合的数学思想方法,考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.满分14分.

解:(Ⅰ)设点 的坐标为 .

由题意,有 .①

得. 

,可得

代入①并整理得 .

由于 ,故 .

于是 ,所以椭圆的离心率 .

(Ⅱ)证法一:依题意,直线 的方程为

设点 的坐标为( ).

由条件得 消去 并整理得 .②

,得,

整理得 .

,于是 ,代入②,整理得

.

,故 ,即

因此 ,所以 .

证法二:依题意,直线 的方程为

可设点 的坐标为 .

由点 在椭圆上,有 .

因为 ,所以

.③

,得

整理得 ,于是 ,代入③,得 ,解得 所以 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
(本小题满分13分)

解:(Ⅰ)依题意知 ,圆心 在线段 的垂直平分线 上,因为抛物线 的准线方程为 ,所以 ,即 ,因此抛物线 的方程为 .

(Ⅱ)假设存在点 满足条件,抛物线 在点 处的切线斜率为

所以直线 的方程为

,所以 .

因此 ,又

所以 ,此时 .

故存在点 ,使得直线 与抛物线 相切于点 .

(Ⅲ)当 时,由(Ⅱ)得

半径为

所以 的方程为 .

整理得 .

两点的坐标分别为

由于

所以 .

整理得 .

亮点的坐标分别为

由于

所以 .

因此 .

,由于 ,则

所以 ,

,

因为

所以当

即函数 上是增函数,

所以当 时, 取到最小值

因此当 时, 取到最小值 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(Ⅰ)设 ,则 ,由此可得 .

因为 所以 .

又由题意知, 的右焦点为 因此 .

所以 的方程为 .

(Ⅱ)由 解得 因此 .

由题意可设直线 的方程为

.由 .

于是 .

因为直线 的斜率为 ,所以 .

由已知,四边形 的面积 .

时, 取得最大值,最大值为 .所以四边形 面积的最大值为 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解析 (1)左焦点坐标为 ,设直线 的方程为 ,由 ,得圆心 到直线 的距离 ,又 ,解得

直线 的方程为

(2)设 ,由

①,且

的重心恰好在圆 上,

化简得

代入①式得

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解析 (1)易知 的轨迹是椭圆,且 ,则 ,故 的方程为

(2)当直线 的斜率存在时,设 ,由 消去 ,整理得

                                        ①

为直径的圆的方程为 ,即 ,                ②

由①得 , ③

.   ④

将①③④代入②化简得

对任意的 ,圆心 到直线 的距离是

,即 ,所以圆与直线相离.

当直线 的斜率不存在时,易得半径为 ,

圆的方程是 ,与直线 相离.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂

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