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首页高考知识点数学知识点14.双曲线与抛物线抛物线的定义、标准方程及性质

高考数学知识点

抛物线的定义、标准方程及性质

绩优堂高考知识点抛物线的定义、标准方程及性质

考点

双曲线的定义、标准方程双曲线的几何性质抛物线的定义、标准方程及性质

共计115道相关试题精选知识点题

【正确答案】
C
【命题立意】

本题考查双曲线与抛物线的标准方程及其应用,难度较小.

【解题思路】

设等轴双曲线方程为 ,由抛物线方程知其准线方程为 ,据题意知双曲线 被直线 截得弦 ,将直线与双曲线方程联立得 ,因此 ,解得 ,故实轴长为 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(I)由已知可得 为等腰直角三角形, ,圆 的半径 ,由抛物线定义可知 的距离

因为 的面积为 所以 ,即 ,解得

 (舍去)或 .                                  (3分)

所以, 的方程为 .                                  (5分)

(II)因为 三点在同一直线 上,所以 为圆 的直径, .由抛物线定义知 ,所以 的斜率为 .   (7分)

的斜率为 时,由已知可设 ,代入 .由于 只有一个公共点,故 ,解得 .因为 轴上的截距 ,所以坐标原点到 距离的比值为 .

的斜率为 时,由图形对称性可知,坐标原点到 距离的比值为 .      (12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
B
【命题立意】

本题考查抛物线的定义与性质,难度中等.

【解题思路】

依题意,设抛物线方程是 ,则有 ,抛物线方程是 ,点 的坐标是 ,选B.

【举一反三】

在处理圆锥曲线的相关问题时,往往应当结合相关曲线的定义来加以解决.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
B
【命题立意】

本题考查抛物线的定义与性质,难度中等.

【解题思路】

依题意,设抛物线方程是  ,则有  ,  ,抛物线方程是  ,点  的坐标是  ,  选B.

【举一反三】

在处理圆锥曲线的相关问题时,往往应当结合相关曲线的定义来加以解决.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
【命题立意】

本题考查曲线的参数方程与普通方程的互化及抛物线定义的应用,难度较小.

【解题思路】

设抛物线准线与 轴交于点 ,据抛物线定义知 为等边三角形,故 , ,因此 ,解得 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
(本小题满分13分)

解:(Ⅰ)依题意知 ,圆心 在线段 的垂直平分线 上,因为抛物线 的准线方程为 ,所以 ,即 ,因此抛物线 的方程为 .

(Ⅱ)假设存在点 满足条件,抛物线 在点 处的切线斜率为

所以直线 的方程为

,所以 .

因此 ,又

所以 ,此时 .

故存在点 ,使得直线 与抛物线 相切于点 .

(Ⅲ)当 时,由(Ⅱ)得

半径为

所以 的方程为 .

整理得 .

两点的坐标分别为

由于

所以 .

整理得 .

亮点的坐标分别为

由于

所以 .

因此 .

,由于 ,则

所以 ,

,

因为

所以当

即函数 上是增函数,

所以当 时, 取到最小值

因此当 时, 取到最小值 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
详见解析
【命题立意】

本小题主要考查抛物线几何性质,直线与抛物线、直线与圆的位置关系,同时考查解析

几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。

【解题思路】
解:(Ⅰ)因为抛物线 的准线方程为

所以圆心 到抛物线 准线的距离为

(Ⅱ)设点 的坐标为 ,抛物线 在点 处的切线交直线 于点

再设 的横坐标分别为

过点 的抛物线 的切线方程为

。①

时,过点 与圆 的切线

可得

时,过点 与圆 的切线

可得

所以

设切线 的斜率为 ,则

,②

。③

分别代入①,②,③得

从而

同理,

所以 是方程 的两个不相等的根,从而

因为

所以 ,即

从而

进而得

综上所述,存在点 满足题意,点 的坐标为

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
C
【命题立意】

本题考查抛物线的定义及性质,难度中等.

【解题思路】

首先由抛物线方程 可知其焦点坐标为F(0,1),准线方程为 ,而点A(2,0),从而可知直线FA的方程为 ,联立方程组 得到点N(4,-1),联立方程 ,由题可知射线FA与抛物线的交点横坐标为 ,所以 ,从而可得 ,由抛物线定义可知 ,所以 ,即选项C正确.

【易错点拨】

题中指明射线与抛物线交点,为此只有一个,这是一个容易导致错误的地方,平时学习过程中要注重审题能力,提高与养成审题的良好习惯.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂

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