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首页高考知识点数学知识点14.双曲线与抛物线双曲线的几何性质

高考数学知识点

双曲线的几何性质

绩优堂高考知识点双曲线的几何性质

考点

双曲线的定义、标准方程双曲线的几何性质抛物线的定义、标准方程及性质

共计111道相关试题精选知识点题

【正确答案】
C
【命题立意】

本题考查双曲线与抛物线的标准方程及其应用,难度较小.

【解题思路】

设等轴双曲线方程为 ,由抛物线方程知其准线方程为 ,据题意知双曲线 被直线 截得弦 ,将直线与双曲线方程联立得 ,因此 ,解得 ,故实轴长为 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
答案详见解析。
【命题立意】

本题主要考查直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考查思维能力、运算能力、考查函数、分类与整合等数学思想,并考查思维的严谨性.

【解题思路】

解:(I)设 的坐标为 时,直线 的斜率不存在;当 时,直线 的斜率不存在.

于是

此时, 的斜率为 的斜率为 .

由题意,有 ,化简可得 .

故动点 的轨迹 的方程为 .        (4分)

(II)由 消去 ,可得 (*)

对于方程(*),其判别式

而当 为方程(*)的根时, 的值为 .

结合题设 可知, ,且 .

的坐标分别为

为方程(*)的两根.

因为 ,所以

.

所以 .

此时  ,且

所以 ,且

所以 ,且 .综上所述, 的取值范围是 .                             (12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
【命题立意】

本题考查双曲线的几何性质,难度中等.

【解题思路】

根据双曲线的离心率建立方程求解.由题意可知 ,所以离心率 ,解得 .

【易错点拨】

注意双曲线中基本量 的关系是 ,不能与椭圆混淆.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
本题主要考查直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考查思维能力、运算能力,

考查函数、分类与整合等数学思想,并考查思维的严谨性.

解:(Ⅰ)设  的坐标为  ,显然有  ,  .

 时,点  的坐标为  .

 时;  .由  ,

 ,即  .

化简可得  .

而点  在曲线  上,

综上可知,轨迹  的方程为  .                 (5分)

(Ⅱ)由  消去  ,可得  .(*)

由题意,方程(*)有两根且均在  内.

 ,

所以    解得,  ,且  .

 、  的坐标分别为  ,由  有

 .

所以

 ,且  ,有  ,

所以  的取值范围是  .                       ( 12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
D
【命题立意】

本题考查椭圆与双曲线的标准方程及椭圆性质的应用,考查待定系数法的应用,难度中等.

【解题思路】

由双曲线方程知两渐近线方程为 ,即四边形两对角线互相垂直,且由椭圆的对称性可知四边形的对角线相等,故四边形为正方形,设 ,据题意可得 ,解得 ,即 在椭圆上,代入椭圆方程得 ,又据椭圆离心率可得 ,两式联立解得 ,故椭圆方程为 .

【举一反三】

求圆锥曲线方程的基本方法之一就是待定系数法,根据已知条件得到圆锥曲线方程中系数的方程或者方程组,通过解方程或者方程组求得系数值.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
C
【命题立意】

本题考查椭圆和双曲线的基本知识,考查双曲线的渐近线方程,考查学生处理综合问题的能力和运算能力。

【解题思路】

圆的直径 为三等分点,不妨设双曲线的一条渐近线方程为 ,点 ,则由题意得, 且点 在椭圆上,所以

消去 ,得 ,又椭圆与双曲线有公共的焦点,所以 于是,可得 。故选C。

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
【命题立意】

本题考査双曲线的几何性质,难度较小.

【解题思路】

利用双曲线方程求解.双曲线 的两条渐近线的方程为 .

【举一反三】

焦点在x轴上的双曲线 的渐近线方程是 .焦点在 轴上的双曲线 的渐近线方程是 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
【命题立意】

本题考查双曲线定义应用及离心率的求解,通过已知构造关于a,b,c的等式是解答本题的关键所在,难度中等.

【解题思路】

据已知得 , ,由双曲线定义得 ,故 .

【举一反三】

关于椭圆、双曲线的离心率问题,主要有两类试题.一类是求解离心率的值,一类是求解离心率的取值范围.基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中a,b,c的关系式,求值问题就是建立关于a,b,c的等式,求取值范围问题就是建立关于a,b,c的不等式.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
D
【命题立意】

本题考查椭圆和双曲线的基础知识、离心率公式,考查学生的审题能力和根据图形特征寻找椭圆和双曲线的基本量关系的能力,考査考生整体计算的能力,难度中等.

【解题思路】

椭圆 中, .设双曲线方程为 ,则由双曲线和椭圆有公共焦点知, ,由椭圆和双曲线的定义得, ,因为四边形 为矩形,所以,  ,所以 ,双曲线的离心率 ,故选D.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
B
【答案详解】

在双曲线左支上,设双曲线右焦点为 的中点为 ,连结

是以 为直径的圆的半径, 是以 为直径的圆的半径,故两圆相外切.

同理,若 在双曲线右支上,则可得两圆相内切.

综上,两圆相切.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解析 (1)设椭圆方程为 ,则根据题意知双曲线的方程为 且满足 解方程组得

椭圆的方程为 ,双曲线的方程为

(2)由(1)得 ,设 ,则由 的中点,所以 点坐标为

坐标代入椭圆和双曲线方程,得 消去 ,得

解得 (舍去).

.由此可得

则直线 的方程是 ,代入 ,得

解得 (舍去),

,则 ,所以 轴.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂

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