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首页高考知识点数学知识点14.双曲线与抛物线双曲线的定义、标准方程

高考数学知识点

双曲线的定义、标准方程

绩优堂高考知识点双曲线的定义、标准方程

考点

双曲线的定义、标准方程双曲线的几何性质抛物线的定义、标准方程及性质

共计35道相关试题精选知识点题

【正确答案】
C
【命题立意】

本题考查双曲线与抛物线的标准方程及其应用,难度较小.

【解题思路】

设等轴双曲线方程为 ,由抛物线方程知其准线方程为 ,据题意知双曲线 被直线 截得弦 ,将直线与双曲线方程联立得 ,因此 ,解得 ,故实轴长为 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
【命题立意】

本题考查双曲线的几何性质,难度中等.

【解题思路】

根据双曲线的离心率建立方程求解.由题意可知 ,所以离心率 ,解得 .

【易错点拨】

注意双曲线中基本量 的关系是 ,不能与椭圆混淆.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
D
【命题立意】

本题考查椭圆与双曲线的标准方程及椭圆性质的应用,考查待定系数法的应用,难度中等.

【解题思路】

由双曲线方程知两渐近线方程为 ,即四边形两对角线互相垂直,且由椭圆的对称性可知四边形的对角线相等,故四边形为正方形,设 ,据题意可得 ,解得 ,即 在椭圆上,代入椭圆方程得 ,又据椭圆离心率可得 ,两式联立解得 ,故椭圆方程为 .

【举一反三】

求圆锥曲线方程的基本方法之一就是待定系数法,根据已知条件得到圆锥曲线方程中系数的方程或者方程组,通过解方程或者方程组求得系数值.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
【命题立意】

本题考查双曲线定义应用及离心率的求解,通过已知构造关于a,b,c的等式是解答本题的关键所在,难度中等.

【解题思路】

据已知得 , ,由双曲线定义得 ,故 .

【举一反三】

关于椭圆、双曲线的离心率问题,主要有两类试题.一类是求解离心率的值,一类是求解离心率的取值范围.基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中a,b,c的关系式,求值问题就是建立关于a,b,c的等式,求取值范围问题就是建立关于a,b,c的不等式.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
D
【命题立意】

本题考查椭圆和双曲线的基础知识、离心率公式,考查学生的审题能力和根据图形特征寻找椭圆和双曲线的基本量关系的能力,考査考生整体计算的能力,难度中等.

【解题思路】

椭圆 中, .设双曲线方程为 ,则由双曲线和椭圆有公共焦点知, ,由椭圆和双曲线的定义得, ,因为四边形 为矩形,所以,  ,所以 ,双曲线的离心率 ,故选D.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解析 (1)设椭圆方程为 ,则根据题意知双曲线的方程为 且满足 解方程组得

椭圆的方程为 ,双曲线的方程为

(2)由(1)得 ,设 ,则由 的中点,所以 点坐标为

坐标代入椭圆和双曲线方程,得 消去 ,得

解得 (舍去).

.由此可得

则直线 的方程是 ,代入 ,得

解得 (舍去),

,则 ,所以 轴.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解析 (1)设双曲线 过一、三象限的渐近线 的倾斜角为

因为 关于 对称,记它们的交点为 .而 轴平行,记 轴的交点为

依题意有 .又 的倾斜角为

,所以

于是 ,所以

(2)由 ,可设双曲线方程为

代入 ,得

化简得 ,则

,则   ,解得 .故所求双曲线 的方程为

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解析(1) 双曲线的渐近线为 ,又双曲线的一条渐近线的方程为 双曲线的方程为

(2)设点 的坐标为 由题意知 ,   ①

依题意,知圆的方程为 ,将①代入 ,即 的坐标为 ,代入 ,即 ,                                               ②

代入②式,整理得

双曲线的离心率为

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
C
【命题立意】
本题主要考查双曲线的标准方程以及双曲线的性质、圆的性质等基础知识,意在考查数形结合思想.
【答案详解】

 由题意可知,圆的半径为 ,又点 在经过第一、三象限的渐近线 上,因此 解得 所以此双曲线的方程为 ,故选C.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂

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