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首页高考知识点数学知识点13.椭圆椭圆的定义、标准方程

高考数学知识点

椭圆的定义、标准方程

绩优堂高考知识点椭圆的定义、标准方程

考点

椭圆的定义、标准方程椭圆的几何性质

共计80道相关试题精选知识点题

【正确答案】
解:(1)设椭圆  的方程为  .

根据题意知  , 解得  ,    

故椭圆  的方程为  . (4分)

(2)容易求得椭圆  的方程为  .

当直线  的斜率不存在时,其方程为  ,不符合题意;

当直线的斜率存在时,设直线  的方程为  .

  得  .

 ,则

  

因为  ,所以  ,即

  

  

 ,

解得  ,即  .

故直线  的方程为  或  .(12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
(1)解:设  ,又知  ,则

直线  的方程为  ,(1)

直线  的方程为  ,(2)

由(1),(2)得  ,(3)

由点  在椭圆  上,故  。从而

 代入(3)得

 (6分)

(2)证明:设  由矩形  与矩形  的面积相等,得

 ,故

因为点  均在椭圆上,所以

 ,知  ,所以  .从而  ,因此

 为定值.(12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(1)由题意得

所以椭圆C的方程为  .(4分)

(2)设  ,  ,  .

由题意知直线  的斜率存在,不妨设其为  ,

则直线  的方程为  .

又圆  :  ,故点  到直线  的距离  ,

所以  .

 ,故直线  的方程为  .

消去  ,整理得

 .

所以  .

 的面积为  ,

 ,

所以

 ,

当且仅当  时取等号.所以所求直线  的方程为  .(12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
C
【命题立意】

本题考查椭圆方程与性质以及椭圆离心率的求解,考生能否依据已知几何关系构造关于 的等式是命题立意所在,难度较小.

【解题思路】

如图, 故在 中, 解得 故选C.

【试题延伸】

离心率是圆锥曲线重要的几何性质,在圆锥曲线的基础试题中占有较大的比重,是高考考查圆锥曲线几何性质中的重要题目类型.关于椭圆、双曲线的离心率问题,主要有两类试题:一类是求解离心率的值,一类是求解离心率的取值范围.基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中 的关系式,求值试题就是建立关于 的等式,求取值范围问题就是建立关于 的不等式.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
答案详见解析。
【命题立意】

本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的距离公式等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质以及数形结合的数学思想方法,考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.满分14分.

【解题思路】

解:(Ⅰ)因为点 在椭圆上,

可得

于是 所以椭圆的离心率

(Ⅱ)设直线 的斜率为 ,则其方程为 .

设点 的坐标为 .

由条件得 消去 并整理得

,得

整理得

代入①,整理得

由(Ⅰ)知

可得

所以直线 的斜率

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(Ⅰ)由题设知 .

   

由点 在椭圆上,得 ,解得

于是 ,又点 在椭圆上,

所以 ,即 ,解得 .

因此,所求椭圆的方程是 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,又直线 平行,

所以可设直线 的方程为

直线 的方程为 .

.

解得

 ①

同理,

(i)由①②得

,注意到 ,故 .

所以直线 的斜率为 .

(ii)因为直线 平行,所以

于是 ,故 .

点在椭圆上知

从而 .

同理 .

因此,

.

又由①②知. 

所以 .因此, 是定值.

【命题立意】

本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质、直线方程、两点间的距离公式等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.满分16分.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
D
【命题立意】

本题考查椭圆与双曲线的标准方程及椭圆性质的应用,考查待定系数法的应用,难度中等.

【解题思路】

由双曲线方程知两渐近线方程为 ,即四边形两对角线互相垂直,且由椭圆的对称性可知四边形的对角线相等,故四边形为正方形,设 ,据题意可得 ,解得 ,即 在椭圆上,代入椭圆方程得 ,又据椭圆离心率可得 ,两式联立解得 ,故椭圆方程为 .

【举一反三】

求圆锥曲线方程的基本方法之一就是待定系数法,根据已知条件得到圆锥曲线方程中系数的方程或者方程组,通过解方程或者方程组求得系数值.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
详见解析
【命题立意】

本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力。满分16分。

【解题思路】
解:(Ⅰ)由题设知, ,故 , ,

所以线段 中点的坐标为

由于直线 平分线段 ,故直线 过线段 的中点,

又直线 过坐标原点,所以

(Ⅱ)直线 的方程为 ,代入椭圆方程得

解得 ,因此

于是 ,直线 的斜率为

故直线 的方程为

因此,

(Ⅲ)解法一:将直线 的方程 代入

解得 。记

,于是

故直线 的斜率为 ,其方程为

代入椭圆方程得

解得 。因此

于是直线 的斜率

因此 ,所以 .

解法二:设 ,则

设直线 的斜率分别为

因为 在直线 上,所以

从而

             

因此 ,所以

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(I)因为 ,所以 .

代入 ,得 .

故椭圆C的方程为 .

(II)解法一:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,

则直线BP的方程为 ,①

①代入 ,解得 .

直线AD的方程为 .②

①与②联立解得 .

由D(0,1), 三点共线知

,解得 .

所以MN的斜率为

 

(定值).

解法二:设 ,则

直线AD的方程为

直线BP的方程为

直线DP的方程为

,由于 可得 ,联立

解得

因此MN的斜率为   ,所以       (定值).

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
本题主要考查椭圆的几何性质,直线与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分15分.

解:(I)由题意得

所以椭圆 的方程为 .

(II)设 .

由题意知直线 的斜率存在,不妨设其为

则直线 的方程为 .

又圆 ,故点 到直线 的距离为

所以 .

,故直线 的方程为 .

消去 ,整理得

.所以 .

的面积为 ,则

所以

当且仅当 时取等号,

所以所求直线 的方程为 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(Ⅰ)设 ,则 ,由此可得 .

因为 所以 .

又由题意知, 的右焦点为 因此 .

所以 的方程为 .

(Ⅱ)由 解得 因此 .

由题意可设直线 的方程为

.由 .

于是 .

因为直线 的斜率为 ,所以 .

由已知,四边形 的面积 .

时, 取得最大值,最大值为 .所以四边形 面积的最大值为 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂

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