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首页高考知识点数学知识点12.直线与圆的方程圆的方程及直线和圆的位置关系

高考数学知识点

圆的方程及直线和圆的位置关系

绩优堂高考知识点圆的方程及直线和圆的位置关系

考点

直线方程和两直线的位置关系圆的方程及直线和圆的位置关系

共计146道相关试题精选知识点题

【正确答案】
(1)解:设  ,又知  ,则

直线  的方程为  ,(1)

直线  的方程为  ,(2)

由(1),(2)得  ,(3)

由点  在椭圆  上,故  。从而

 代入(3)得

 (6分)

(2)证明:设  由矩形  与矩形  的面积相等,得

 ,故

因为点  均在椭圆上,所以

 ,知  ,所以  .从而  ,因此

 为定值.(12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(I)由已知可得 为等腰直角三角形, ,圆 的半径 ,由抛物线定义可知 的距离

因为 的面积为 所以 ,即 ,解得

 (舍去)或 .                                  (3分)

所以, 的方程为 .                                  (5分)

(II)因为 三点在同一直线 上,所以 为圆 的直径, .由抛物线定义知 ,所以 的斜率为 .   (7分)

的斜率为 时,由已知可设 ,代入 .由于 只有一个公共点,故 ,解得 .因为 轴上的截距 ,所以坐标原点到 距离的比值为 .

的斜率为 时,由图形对称性可知,坐标原点到 距离的比值为 .      (12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
3
【命题立意】

本题考查直线与圆的方程及均值不等式的综合应用,难度较小.

【解题思路】

据直线方程得 ,又由直线被圆截得弦长为 ,可得圆心到直线的距离为 ,即 ,整理得 ,因此据均值不等式得 ,当且仅当 时取得最小值 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
【命题立意】

本题考查圆与圆的位置关系,考查不等式有解、等价转化等思想的应用,难度中等.

【解题思路】

设出直线上点的坐标,利用两圆有公共点的条件建立不等式,将问题转化为不等式有解,借助二次函数图象求解.设直线 上有点 ,圆 与圆 有公共点,则 ,即 有解,即

有解,所以判别式 ,化简得 ,故 的最大值是 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
D
【命题立意】

本题考查直线与圆的位置关系及均值不等式的应用,考查考生的化简、运算、变形等数据处理能力,难度中等.

【解题思路】

由直线与圆相切得 ,两边平方并整理得 ,显然 ,故 ,因此

时,利用均值不等式得 ;当 时,利用均值不等式得

,故 的取值范围是 ,故选D.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
【命题立意】

本题考查圆的方程及弧长公式、解三角形等知识的应用,着重考查考生对图形在运动变化中的探究能力,难度中等.

【解题思路】

如图,当圆滚动到圆心位于 时,过点 垂直于 轴于点 ,过点 的垂线,垂足为点 ,据题意劣弧 的长为 ,又圆的半径为 ,因此 ,在直角三角形 中, ,因此 ,故 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
详见解析
【命题立意】

本小题主要考查抛物线几何性质,直线与抛物线、直线与圆的位置关系,同时考查解析

几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。

【解题思路】
解:(Ⅰ)因为抛物线 的准线方程为

所以圆心 到抛物线 准线的距离为

(Ⅱ)设点 的坐标为 ,抛物线 在点 处的切线交直线 于点

再设 的横坐标分别为

过点 的抛物线 的切线方程为

。①

时,过点 与圆 的切线

可得

时,过点 与圆 的切线

可得

所以

设切线 的斜率为 ,则

,②

。③

分别代入①,②,③得

从而

同理,

所以 是方程 的两个不相等的根,从而

因为

所以 ,即

从而

进而得

综上所述,存在点 满足题意,点 的坐标为

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
【命题立意】

本题考查了集合语言及几何覆盖问题,体现了等价转化的数学思想方法及直线与圆的位置关系的巧妙应用,此题将直线与圆的考点的难度进一步的加深,展示了解析集合客观题的难度控制范围正在悄悄的转变。

【解题思路】

集合 表示圆 内的所有点(由 ,得 )或圆环(由 ,得 )内的所有的点,集合 表示两条平行直线 之间的所有的点,由 可知,只须使得圆 与直线 有公共点或与直线 有公共点即可,

,解得 ,即得 ,又由 ,可得实数 的取值范围是

【举一反三】

两个集合所描述的几何图形特征比较明显,但两个平面区域的交集非空的问题的等价转换需要分两类进行研究,一般情况下,我们固定其中一个区域,让另一个区域运动,在运动中寻找关系不等式,通过解不等式来解决参数的取值范围问题。

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
本题主要考查直线与圆的方程,考查直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系等基础知识,考查运用数形结合、待定系数法等数学思想方法分析解决问题的能力.满分14分.

解:(I)由题设,圆心 是直线 的交点,解得点 ,于是切线的斜率必存在.设过 的圆 的切线方程为

由题意 ,解得

故所求切线方程为

(II)因为圆心在直线 上,

所以圆 的方程为 .

设点 ,因为 ,所以

化简得 ,即

所以点 在以 为圆心,  为半径的圆上.

由题意,点 在圆 上,所以圆 与圆 有公共点,

,即 .

,得

,得 .

所以点 的横坐标 的取值范围为 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(Ⅰ)由题设知, 的坐标分别为(-2,0),(2,0),圆C的半径为2,圆心为原点O关于直线 的对称点.

设圆心的坐标为 ,由 解得

所以圆C的方程为 .

(Ⅱ)由题意,可设直线 的方程为

则圆心到直线 的距离 .

所以 .

.

与E的两个交点坐标分别为

.

于是

.

从而

.

当且仅当

时等号成立.

故当 时,ab最大,此时,直线 的方程为

.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂

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