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首页高考知识点数学知识点11.空间向量与立体几何空间直角坐标系、空间向量及其运算

高考数学知识点

空间直角坐标系、空间向量及其运算

绩优堂高考知识点空间直角坐标系、空间向量及其运算

考点

空间直角坐标系、空间向量及其运算与空间角和距离有关的计算

共计16道相关试题精选知识点题

【正确答案】
(1)设   ,连接   .

由三角形的中位线定理可得   .

  平面   ,   平面   ,   平面   .

(2)建立如图所示的空间直角坐标系.

  中,斜边   ,   ,得   ,

所以   ,   ,   ,   .

  ,其中   ,得   .

设平面   的一个法向量   ,

  得   ,

  ,得   .

而平面   的法向量   ,所以由题意   ,

  ,解得   ,

所以,当点   在线段   的中点时,二面角   的余弦值为   .

  

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
在图1中,易得

连结  ,在  中,由余弦定理可得

由翻折不变性可知  ,

所以  ,所以  ,

同理可证  , 又  ,所以  平面  . (6分)

(Ⅱ)传统法:过  作  交  的延长线于  ,连结  ,

因为  平面  ,所以  ,

所以  为二面角  的平面角.

结合图1可知,   为  中点,故  ,从而   

所以  ,所以二面角  的平面角的余弦值为  .

向量法:以  点为原点,建立空间直角坐标系  如图所示,

 ,   ,   

所以  ,    

 为平面  的法向量,则

 ,即  ,解得  ,令  ,得   

由(Ⅰ) 知,   为平面  的一个法向量,

所以  ,即二面角  的平面角的余弦值为  . (12分)

 

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(I)证明:由题设知,三棱柱的侧面为矩形.

 由于 的中点,故 ,

 又 ,可得 ,所以 .

 而 , ,所以 平面 .

  平面 ,故 (5 分)

(II)由(I)知 ,且 ,则 平面

 所以 两两相互垂直.

 以 为坐标原点, 的方向为 轴的正方向, 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz

由题意知 .则

.

是平面 的法向量,则

,即 ,可取 .

同理,设 是平面 的法向量,则 可取 .

从而 .故二面角 的大小为 .(12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
本题主要考查异面直线、二面角、空间向量等基础知识以及基本运算,考查运用空间向量解决问题的能力.满分10分.

解:(I)以 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系

所以 .

因为 .

所以异面直线 所成角的余弦值为 .

(II)设平面 的法向量为

因为

所以 ,即 所以 是平面 的一个法向量.

取平面 的一个法向量为

设平面 与平面 所成二面角的大小为 .

,得 .

因此,平面 与平面 所成二面角的正弦值为 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
【命题立意】

本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,难度较小.

【解题思路】

直线的直角坐标方程为 ,代入曲线的参数方程得 ,当 时, ;当 时, ,即有 ,于是

【思维拓展】

从本题的解答可以看到,解答参数方程对应的曲线与直线的位置关系不一定必须将参数方程化为普通方程来解,也可以直接将直线方程代入参数方程来通过对参数进行处理获得解决,也就是说我们在解题时一定要灵活多变.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解析 (1)证明:连结 ,连结

.

(2)建立如图所示的坐标系,

所以 .

设平面 的法向量为

所以 ,取

所以所求距离 .

(3)平面 的法向量为 ,由(2)知平面 的法向量为 ,所以

所以二面角 的余弦值为 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解析 (1)证明:连结 ,交 于点 ,连结

因为 为矩形 对角线的交点,所以 ,又因为 的中点,所以 为三角形 的中位线,所以

因为 平面 平面

所以 平面 .                                             (4分)

(2)因为 ,所以

因为平面 平面 ,且平面 平面

所以 平面

为坐标原点, 所在直线为 轴, 轴, 轴,建立如图所示空间直角坐标系 ,则 .                       (7分)

因为 平面 ,所以平面 的一个法向量为

点坐标为

在平面 中,

设平面 的一个法向量为

所以平面 的法向量为

所以 ,              (10分)

解得 (舍).

所以 .

.

的长度为 .                                                  (12分)

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解法一:

(Ⅰ)证明:因为 ⊥平面 平面 ,故平面 ⊥平面

,所以 平面

连结 ,因为侧面 为菱形,故

由三垂线定理得

(Ⅱ)  平面 平面 ,故平面 ⊥平面 .

 ⊥ 为垂足,则 ⊥平面 .

又直线 ∥平面 ,因而 为直线 与平面 的距离,

因为 的平分线,故

为垂足,连结 .由三垂线定理得 ,

为二面角 的平面角.

中点,

所以二面角 的大小为

解法二:以 为坐标原点,射线 轴的正半轴,以 的长为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 .由题设知 轴平行, 轴在平面 内.

(Ⅰ)设 ,由题设有 ,则

.

,即

.                                                    ①

于是 ,所以

(Ⅱ)设平面 的法向量 ,则 ,即

,故 ,且 .

,则 ,点 到平面 的距离为

又依题设,  到平面 的距离为 ,所以

代入①解得  (舍去)或

于是

设平面 的法向量 ,则 ,即

,且 .令 ,则

为平面 的法向量,故

所以二面角 的大小为

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(Ⅰ)证明:(方法一)过 ,垂足为 ,连 .由

可证出

所以 ,即

,因此

,所以

 (方法二)由题意,以 为坐标原点,在平面 内过 作垂直 的直线为 轴,  所在直线为 轴,在平面 内过 作垂直 的直线为 轴,建立如图所示空间直角坐标系,易得 ,因而 ,所以,  ,因此

从而 ,所以

(Ⅱ)解:(解法一)在图1中,过 ,垂足为 ,连 .由平面 平面 ,从而 ,又 ,由三垂线定理知

因此 为二面角 的平面角.

中,  ,由

知,  ,

因此 ,从而 ,即二面角 正弦值为

(解法二)在图2中,平面 的一个法向量为

设平面 的法向量

,由 得其中一个

设二面角 大小为 ,且由题意知 为锐角,则

,

因此 ,即所求二面角正弦值为

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(Ⅰ)如图,连接 ,因为    为菱形,则 ,且 .以 为坐标原点, 的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系

因为 ,故

所以

知,

从而 ,即

,则

因为 ,故 ,即

所以  (舍去),即

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

设平面 的法向量为 ,平面 的法向量为

故可取

故可取

从而法向量 的夹角的余弦值为

故所求二面角 的正弦值为

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:几何方法:

(Ⅰ)证明:如图1,连接 ,由 是正方体,知

时, 的中点,又 的中点,所以

所以

平面 ,且 平面 ,故直线 平面

 (Ⅱ)如图2,连接 ,因为 分别是 的中点,

所以 ,且 .又

所以四边形 是平行四边形,故 ,且

从而 ,且

中,因为

于是 ,所以四边形 是等腰梯形.

同理可证四边形 是等腰梯形.

分别取 的中点为 ,连接

,而

是面 与面 所成的二面角的平面角.

若存在 ,使面 与面 所成的二面角为直二面角,则

连接 ,则由 ,且 ,知四边形 是平行四边形.

连接 ,因为 的中点,所以

中,

,得 ,解得

故存在 ,使面 与面 所成的二面角为直二面角.

向量方法:

为原点,射线 分别为 轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系 .由已知得

(Ⅰ)证明:当 时,

因为 ,所以 ,即

平面 ,且 平面 ,故直线 平面

(Ⅱ)设平面 的一个法向量为 ,则

,可得 于是可取

同理可得平面 的一个法向量为

若存在 ,使面 与面 所成的二面角为直二面角,

,即

解得

故存在 ,使面 与面 所成的二面角为直二面角.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂

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