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首页高考知识点数学知识点10.空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、线、面的位置关系

高考数学知识点

空间点、线、面的位置关系

绩优堂高考知识点空间点、线、面的位置关系

考点

空间点、线、面的位置关系直线、平面平行的判定与性质直线、平面垂直的判定与性质

共计104道相关试题精选知识点题

  • A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
  • B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
  • C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
  • D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
【正确答案】
C
【命题立意】

本题考查空间中的基本定理,难度中等.

【解题思路】

对于 ,注意到位于某一个平面内的两条相交直线与该平面所成的角均为零,因此选项 不正确;对于 ,注意到当平面 平面 时,在平面 内作直线 ,垂足分别为 ,分别在直线 上取 ,显然此时点 到到平面 的距离相等,但此时 ,因此选项B不正确;对于C,由定理“如果一条直线平行于两个相交平面,那么这条直线平行于这两个平面的交线”得知,选项C正确;对于D,注意到在正方体 中,平面 平面 ,平面 平面 ,但此时平面 与平面 相交,因此选项D不正确.综上所述,选C.

【试题延伸】

此类问题要求考生对于空间中的基本定理比较熟悉,能够全面地分析问题.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
  • A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
  • B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
  • C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
  • D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
【正确答案】
C
【命题立意】

本题考查空间中的基本定理,难度中等.

【解题思路】

对于A,注意到位于某一个平面内的两条相交直线与该平面所成的角均为零,因此选项A不正确;对于B,注意到当平面 平面 时,在平面 内作直线 ,垂足分别为 , ,分别在直线 , 上取 ,显然此时直线 上所有的点到平面 的距离相等,但此时 ,因此选项B不正确;对于C,由定理“如果一条直线平行于两个相交平面,那么这条直线平行于这两个平面的交线”得知,选项C正确;对于D,注意到正方体 中,平面 平面 ,平面 平面 ,但此时平面 与平面 相交,因此选项D不正确.综上所述,选C.

【试题延伸】

此类问题要求考生对空间中的基本定理比较熟悉,能够全面地分析问题.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
  • A. 内的所有直线与 异面 
  • B. 内不存在与 平行的直线
  • C. 内存在唯一的直线与 平行 
  • D. 内的直线与 都相交
【正确答案】
B
【命题立意】

本题主要考查直线与平面的位置关系以及空间两直线的位置关系.考生可借助笔和桌面,不难通过空间想象加以判断解决。

【解题思路】

,则 内经过点 的直线与 相交,可排除A; 内部不经过点 的直线与 不相交,可排除D;若 内有直线与 平行,则有 ,与已知条件矛盾,可排除C.故选B。

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
本题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.

证明:(Ⅰ)因为 ,垂足为 ,所以 的中点.又因为 是SA的中点,所以 .

因为 平面  平面 ,所以 平面

同理 平面 .又

所以平面 平面 .

(Ⅱ)因为平面 平面 ,且交线为

平面

所以 平面 ,因为 平面 ,所以 .

又因为 平面 ,

所以 平面

因为 平面 ,所以 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
4
【命题立意】

本题考查线面的位置关系、面面平行与线面相交问题的判断与应用,难度中等.

【解题思路】

由题可知EF与正方体中的左、右两侧面平行,与其他四个面相交,故与4个平面相交.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同时考查空间想象能力和运算求解能力. 满分15分.

解法一:(Ⅰ)取 的中点 ,在线段 上取点 ,使得 ,连接 .

因为 所以 ,且 .

因为 分别为 的中点,

所以 的中位线,

所以 ,且 .

又点 的中点,所以 .

从而 ,且

所以四边形 为平行四边形,故 .

平面 平面

所以 平面 .

(Ⅱ)作 于点 ,作 于点 ,连接 .

因为 平面 平面 ,所以

,故 平面

平面 ,所以 .

,故 平面

所以 .

所以 为二面角 的平面角,即 .

.

中,

.

中, .

中, .

所以 . 从而 ,即 .

解法二:(I)如图,取 的中点 ,以 为原点, 所在射线为 轴的正半

轴,建立空间直角坐标系 .

由题意知 .

设点 的坐标为 .

因为 ,所以 .

因为 的中点,故 .

的中点,故 .

所以 .

又平面 的一个法向量为 ,故 .

平面 ,所以 平面 .

(II)设 为平面 的一个法向量.

,得 .

又平面 的一个法向量为 ,于是

.    ①

,所以 ,

.        ②

联立①②,解得 (舍去)或

所以 .

是锐角,所以 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
  • A.  
  • B.
  • C. 相交,且交线垂直于  
  • D. 相交,且交线平行于
【正确答案】
D
【命题立意】

本题考查了空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的命题推理与判断问题,体现了空间想象能力的实际应用,难度中等.

【解题思路】

异面直线 分别垂直于平面 , 平面 必不平行;可知 相交,则由直线 且直线 不在平面 内可得直线 必与平面 均平行,故应选D.

【举一反三】

空间几何命题的判断时可以借助于实物模型进行判断,如本题中可以借助于桌面与试卷作为平面,笔作为直线来模拟与想象.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(Ⅰ)如图,连接 ,因为 ,即 为等腰三角形,又 平分 ,故 .以 为坐标原点, 的方向分别为 轴, 轴, 轴的正方向,建立空间直角坐标系

,而 ,得

.因为 底面 ,可设 ,由 边中点, .又 ,因为 ,故 ,即 (舍去 ),所以

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

设平面 的法向量为 ,平面 的法向量为

,得

因此可取

,得

故可取

从而法向量 的夹角的余弦值为

故二面角 的正弦值为

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
  • A.过点 有且仅有一条直线与 都平行
  • B.过点 有且仅有一条直线与 都垂直
  • C.过点 有且仅有一条直线与 都相交
  • D.过点 有且仅有一条直线与 都异面
【正确答案】
B
【答案详解】

对于选项A,若过点 有直线 都平行,则 ,这与 异面矛盾.

对于选项B,过点 都垂直的直线,即过点 且与 的公垂线段平行的那一条

直线.

对于选项C,过点 都相交的直线有一条或零条.

对于选项D,过点 都异面的直线可能有无数条.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
C
【答案详解】

直线 与平面 斜交时,在平面 内不存在与 平行的直线,  A错; 时,在平面 内不存在与 相交的直线,  B错; 时,在平面 内不存在与 异面的直线,  D错;无论以上哪种情形在平面 内都有无数条直线与 垂直.故选C.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
  • A. 平行
  • B. 异面
  • C. 的交点 可能在直线 上,也可能不在直线
  • D. 的交点 一定在直线
【正确答案】
D
【答案详解】

依题意,可得 ,故 ,所以 共面.因为 ,所以 是梯形, 必相交,设交点为 .因为点 上,故点 在平面 上.同理,点 在平面 上,即点 是平面 与平面 的交点,而 是这两个平面的交线,所以点 一定在直线 上.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
答案 ②③④
【答案详解】

解析    还原成正四面体知 为异面直线, 为异面直线, 角, 为异面直线,且所成的角为 ,即 垂直.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
D
【答案详解】

中,由于 ,所以 .所以   ,所以在面 中,曲线段 的长度为 .同理,曲线段 的长度也为 .在面 中,曲线段 的长度为 .在面 中,曲线段 的长度为 .所以这条曲线的总长度为 ,故选D.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
  • A.一定与 都相交   
  • B.只能与 中的一条相交
  • C.至少与 中的一条相交  
  • D.一定与 都平行
【正确答案】
C
【答案详解】

都不相交,则 都平行,根据公理4,知 ,这与 异面矛盾.故选C.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂

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