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首页高考知识点数学知识点2.函数概念及其基本性质函数的单调性与最值

高考数学知识点

函数的单调性与最值

绩优堂高考知识点函数的单调性与最值

考点

函数及其表示函数的单调性与最值函数的奇偶性函数的周期性

共计115道相关试题精选知识点题

【正确答案】
因为函数  的图象过点  ,

所以  ,解得  ,所以  .

(1)函数  在区间  上是增函数,证明如下:

 ,则  .

 ,  ,  ,  ,  ,

 函数  在区间  上是增函数.

(2)  函数  在区间  上是递增函数,

    在区间  上的值域为  .

 ,解得  .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(1)函数   的定义域为   ,且函数   是奇函数,

所以,   ,

      ,

  .……………………………………………………………………………4分

(2)由(1)知    ,设   ,

      ,

所以,   ,故函数   在   上是减函数。…………………………8分

(3)因为   是奇函数,从而不等式   ,等价于           ,   在   上为减函数,由上式得:   即对一切   ,有   ,从而   ,解得   .…………………………………………………………………………………12分

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
B
【命题立意】

本题属于图象判断题,意在考查考生通过对函数性质的研究来描绘图象的大致形状,考查读图与识图能力,难度中等.

【解题思路】

,则 ,当 时,  ,函数 为减函数,故有 ;当 时, ,函数 为增函数,故 ,因此当 时, ;当 时, ,据此排除A,C,D,故选B.

【举一反三】

函数图象分析类试题,主要就是推证函数的性质,根据函数的性质、特殊点的函数值以及图象的实际作出判断.这类试题在考查函数图象的同时重点考查探究函数性质、用函数性质分析问题和解决问题的能力.利用导数研究函数的性质、对函数图象作出分析判断类的试题,已经逐渐成为高考的一个命题热点.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
B
【命题立意】

本题考查函数单调性与奇偶性的判断,难度中等.

【解题思路】

依次判断各选项,其中C为奇函数,D为非奇非偶函数,A为偶函数,但在区间 内不单调,对于B选项易知函数为偶函数,且当 时, 为增函数,故选B.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
答案详见解析。
【命题立意】

本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性、函数的零点,函数的最值等基础知识,考查函数思想、分类讨论思想,考查综合分析和解决问题的能力.满分14分.

【解题思路】

解:(Ⅰ)

.

变化时, 的变化情况如下表:

故函数 的单调递增区间是 ;单调递减区间是

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 在区间 内单调递增,在区间 内单调递减,从而函数 在区间 内恰有两个零点,当且仅当 解得

所以, 的取值范围是

(Ⅲ) 时,

由(Ⅰ)知 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增.

(1)当 时,

上单调递增,在 上单调递减.

因此, 在[ ]上的最大值 而最小值 中的较小者.

知,当 时,

,故 ,所以

上单调递增,因此

所以 上的最小值为

(2)当 时,

下面比较 的大小.

, 上单调递增,

.

又由

从而

所以

综上,函数 在区间 上的最小值为

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
 本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识,考查函数思想、分类讨论思想,考查综合分析和解决问题的能力.满分14分.

解:(Ⅰ) 的定义域为 .

.

,得 .

变化时, 的变化情况如下表:

因此, 处取得最小值,

故由题意 ,所以 .

(Ⅱ)当 时,取 ,有

不合题意;

时,令 ,即

.

,得 .

(1)当 时, 上恒成立,因此 上单调递减.

从而对于任意的 ,总有

上恒成立.

符合题意.

(2)当 时, ,对于 .

,故 内单调递增.

因此当取 时,

不成立.

不合题意.综上, 的最小值为 .

(Ⅲ)证明:当 时,不等式左边 右边,所以不等式成立.

时,

.

在(Ⅱ)中取 ,得 ,从而

所以有

.

综上,

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
  • A.充分不必要条件
  • B.必要不充分条件  
  • C.充分必要条件
  • D.既不充分也不必要条件
【正确答案】
A
【命题立意】

本题考查函数单调性与充分必要条件的判断,考查考生的推理能力及对基本常见函数单调性的掌握情况是命题立意所在,难度较小.

【解题思路】

由指数函数的性质易知,函数 上的单调递减函数,则有 ,而 若在 上为增函数,只需 ,即 即可,因此“函数 上的单调递减函数”是“ 上为增函数”的充分但不必要条件.

【举一反三】

要正确判断“充分且不必要条件”“必要且不充分条件”“充要条件”以及“不充分且不必要条件”,需要做到:①确定条件是什么,结论是什么;②尝试从条件推导结论,从结论推导条件;③确定条件是结论的什么条件,要证明命题的条件是充要的,就既要证明原命题成立,又要证明它的逆命题成立.证明原命题成立即证明条件的充分性,证明逆命题成立即证明条件的必要性.

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
【命题立意】

本题考查了函数的单调区间的求解问题,属基础函数性质推理题.

【解题思路】

函数 的定义域为 ,其在定义域内为增函数,  函数 的单调增区间是 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
详见解析
【命题立意】

本小题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。

【解题思路】
解:

(Ⅰ)由题意知 上恒成立。

因为 ,故

进而,即 在区间 上恒成立,

所以 ,因此 的取值范围是 .

(Ⅱ)令 ,解得

,由 .又因为 ,所以函数 上不是单调性一致的。因此

现设 .当 时,

时, 。因此,

时,

故由题设得, 

从而 ,于是

因此 ,且当 时等号成立。

又当 时,

从而当 时,

故函数 上单调性一致。

因此 的最大值为

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
本题主要考查导数的运算及利用导数研究函数的性质,考查函数、方程及不等式的相互转化,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题及推理论证能力.满分16分.

解:(I)令  ,考虑到 的定义域为 ,故 ,进而解得 ,即 上是单调减函数.

同理,  上是单调增函数.

由于 上是单调减函数,

,从而 ,即 .

,得 .

时,  ;当 时,  .

上有最小值,所以 ,即 .

综上,有 .

(II)当 时, 必为单调增函数;

时,令 ,解得 ,即 ,因为 上是单调增函数,类似(I)有 ,即 .

结合上述两种情况,有 .

(i)当 时,由 以及 ,得 存在唯一的零点;

(ii)当 时,由于 ,

,且函数 上的图象不间断,

所以 上存在零点.

另外,当 时, ,故 上是单调增函数,所以 只有一个零点.

(ⅲ)当 时,令 ,解得 .

时, ,当 时, ,所以 的最大值点,且最大值为 .

①  当 ,即 时, 有一个零点 .

②  当 ,即 时, 有两个零点.

实际上,对于 ,由于 ,且函数 上的图象不间断,所以 上存在零点.

另外,当 时, ,故 上是单调增函数,所以 上只有一个零点.

下面考虑 上的情况.

先证 .

为此,我们要证明:当 时, .

  ,则

再设 ,则 .

时, 

所以 上是单调增函数.

故当 时,

从而 上是单调增函数,进而当 时, .即当 时, .

,即 时,  ,又  ,且函数 上的图象不间断,所以 上存在零点.

又当 时,  ,故 上是单调减函数,所以 上只有一个零点.

综合(i),(ii),(iii),当 的零点个数为 ,

时,  的零点个数为 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(Ⅰ)函数 的定义域为 .

.

时, ;当 时,

所以 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .

(Ⅱ)当 时,由于 ,故

同理,当 时, .

时,不妨设

由(Ⅰ)知, .

下面证明:

即证 .

此不等式等价于 .

,则 .

时, 单调递减,

从而 ,即 .

所以 .

,所以 ,从而, .

由于 上单调递增,

所以 ,即 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂
【正确答案】
解:(I)因为方程 有两个实根 ,故 的解集为 ,因此区间 ,区间长度为

(Ⅱ)设 ,则 .令 ,得 .由于 ,故

时, 单调递增;

时, 单调递减,

因此当 时, 的最小值必定在 处取得.

,故

因此当 时,d(a)在区间 上取得最小值 .

创建者: 绩优堂 贡献者: 绩优堂

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